第三节相似矩阵与方阵的对角化.ppt

第三节相似矩阵与方阵的对角化
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一、相似矩阵与相似变换的概念
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1. 等价关系
相似矩阵与相似变换的性质
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证明
第4页，此课件共30第三节相似矩阵与方阵的对角化
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一、相似矩阵与相似变换的概念
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1. 等价关系
相似矩阵与相似变换的性质
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证明
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推论 若n阶方阵A与对角阵
　若n阶方阵A与B相似，则A与B的秩相同，
即
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二、利用相似变换将方阵对角化
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说明
推论
如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，
则 与对角阵相似．
如果 的特征方程有重根，此时不一定有
个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能
对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，
还是能对角化．
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例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
解
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解之得基础解系
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求得基础解系
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解之得基础解系
故 不能化为对角矩阵.
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A能否对角化？若能对角
例2
解
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解之得基础解系
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所以 可对角化.
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注意
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置
要相互对应．
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　实对称矩阵的特征值为实数.
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说
明，均指实对称矩阵．
一个n阶方阵具备什么条件才能对角化,这是一个较复杂的
问题,我们不作一般性讨论,仅讨论A为实对称阵的情形。
三、实对称矩阵的相似对角化

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推论1　n阶实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量.
推论2　实对称矩阵一定与对角阵相似.
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证明
它们的重数依次为
（对称矩阵的特征值为实数）
( 如上)可得：
设 的互不相等的特征值为
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，
这样的特征向量共可得 个.
故这 个单位特征向量两两正交.
以它们为列向量构成正交矩阵 ，则
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根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为：
将特征向量正交化;
3.
将特征向量单位化.
4.
2.
1.
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解
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，
使 为对角阵.
(1)第一步 求 的特征值
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解之得基础解系
解之得基础解系
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解之得基础解系
第三步 将特征向量正交化
第四步 将特征向量单位化
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于是得正交矩阵
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三、小结
１．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好
的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：
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２．相似变换与相似变换矩阵
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种
运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与
之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从
而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对
角矩阵的运算．
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A
变成　　　，而可逆矩阵 称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
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3.　对称矩阵的性质：
(1)特征值为实数；
　 (2)属于不同特征值的特征向量正交；
(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
特征向量的个数相等；
(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值．
4.　利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：
(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向
量单位化；(4)最后正交化．
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