定积分的近似计算.ppt

定积分的近似计算99260
所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分 在几何上表示 曲线，直线 定积分的近似计算99260
所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分 在几何上表示 曲线，直线 及x轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。
1、  观察黎曼和式的收敛性
由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式
的极限，因此可以用黎曼和式来近似计算定积分。为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为 段，并以小区间中点处的函数值作近似，于是黎曼和式为：
因而 。
例1  计算 的黎曼和。
解：输入命令如下：
述命令是将区间[2, 3]等分为200段，运行求得黎曼和为：。
1、  梯形法
大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。具体方法如下：
将区间 用 等分为n个小区间，小区间的长度为 。设
，则每个小梯形的面积为
，从而得到梯形法的公式为：
下面来估计梯形法的误差。第 个小曲边梯形的面积为 ，做变换 ，则
当在 区间 上连续时，利用分部积分法可以证明：
设 为 在区间 上的最大值，则第 个小曲边梯形与相应的梯形面积之差的绝对值估计如下：
下面计算在区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形面积。为此，先计算区间 上，以过三点
的抛物线 为曲边的曲边梯形面积 ：
由
得：
故
取 ，则上面所求的 等于区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积。同理可以得到区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积
于是，将这 个曲边梯形的面积加起来，得到定积分的近似值为（设 ）：
上式称为辛普森公式或抛物线公式。用这个公式求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明
不超过 ，其中 是 在区间
上的最大值。
例1  用抛物线法近似计算 ，要求误差不超过 。
解：设 ，可由命令D[f[x],{x,4}]得到 的四阶导函数为：
显然 在区间 上的最大值为 。下面根据抛物线法的思想利用Mathematica编程，在程序中，与例2一样，定义了等分 时的抛物线公式 ，并采用“Do”命令进行循环直到满足要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出 及 。输入命令如下：
从运行结果看，循环到 时因达到精度要求结束循环，并得到积分的近似值为：。从例2、例3可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实际情况也是相符的。
最后，我们再说明一点，在Mathematica内部有一个数值积分的命令“NIntegrate”，例如要计算 ，我们可以调用命令：
或者我们可以通过基本输入模板直接输入积分符号：