函数单调性与凸性的判别法.ppt

关于函数单调性与凸性的判别法
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2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
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带Lagrange余项的Maclaurin公式：
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§4单调减少的，则该曲线弧是上凸的。
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求拐点的步骤：
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解：
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解：
二阶导数不存在的点也可能是拐点.
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解：
导数不存在，二阶导数也不存在。
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凸
凹
凹
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证明：
第三十六页，讲稿共八十五页哦
证明：
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hw：p173 1(3,5)，2(3,5,7,9).
p188 1(3,5),2(1),3,5,6.
更进一步有不等式：
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§5 函数极值、函数作图
函数的极值与求法；
渐近线；
函数作图。
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一. 函数的极值与求法
定义：
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
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定理1(必要条件)
注意:
例如,
极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).
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定理2(第一充分条件)
(是极值点情形)
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证明：
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求极值的步骤:
(不是极值点情形)
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例1.
解
列表讨论
极大值
极小值
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图形如下
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解：
第五十四页，讲稿共八十五页哦
第五十五页，讲稿共八十五页哦
定理3（第二充分条件）
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证明：
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极小值
极大值
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定理3’(第二充分条件)
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例 1. 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；
解：
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证明：
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证明：
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第六十三页，讲稿共八十五页哦
解：
第六十四页，讲稿共八十五页哦
第六十五页，讲稿共八十五页哦
小 结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为极值可疑点.
函数的极值必在极值可疑点取得.
判别法
第一充分条件;
第二充分条件;
(注意使用条件)
Hw：p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.
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二. 渐近线
定义:

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例如
有垂直渐近线两条:
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例如
有水平渐近线两条:
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斜渐近线求法:
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注意:
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解：
第七十二页，讲稿共八十五页哦
解：
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三. 函数作图
：
1). 定义域，值域，连续范围；
2). 函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶
函数关于y轴对称；
3). 周期性。
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2. 利用导数研究函数性质：
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3. 渐近线
1). 垂直渐近线；
2). 水平与斜渐近线。
4. 描点作图
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解：
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p188 7(1,3,5),8,11(2).
p229 4,6,8,9,10(1,4,6,7,9),
12(1),13(1,3),15,20,21,30
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列表
–
x
y
y
.
.
对函数进行全面讨论并画图：
解
所以，曲线有渐近线 x =0
0
(拐点)
+
+
因
–
–
–
–
0
0
+
+
3
极小值
+
例1.
0
.
间断点
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0
x
y
3
.