中南财经政法大学信息系
第四节正定二次型及正定矩阵
第六章二次型
一、正(负)定二次型的概念
具有实对称矩阵A的n元二次型为
如果对于任意的非零向量,都有
(或<0)成立,那么称二次型为正定
(负定)二次型,A为正定(负定)矩阵。
如果对于任意非零向量,都有(或)成立,并且存在某向量X0,使得
那么称二次型为半正定(半负定)二次型,A为
半正定(半负定)矩阵。
3)如果对某向量,有,而对另一
向量,有,则称该二次型为不定
二次型。矩阵A称为不定矩阵。
例如
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是: A的特征值全为正.
二、正(负)定二次型的判别
证明必要性
充分性
推论1 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指数为n.
对负定矩阵也有类似结论:
准则二实对称矩阵A正定的充分必要条件为A合同于单
位阵E.
证明:
若二次型正定,则A的特征值全部为正
6-4正定二次型及正定矩阵 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
