曲线积分与曲面积分第二类曲面积分.doc

第十章
第五节
第二类曲面积分
一、主要内容
(一) 第二类曲面积分的概念及性质
, ) e ( , , )]d∫∫ ⋅
→
Σ
→ →
注 1º 第二类曲面积分的其他表达形式
→
Σ
Σ
∫∫ [ ]dS
Σ
= z )i
∫∫ F ( x, y, z ) ⋅ dS = ∫∫ [F ( x, y, z ) ⋅
e n ( x, y, z )]dS
→
→r
FF((xx, ,yy, ,zz))⋅ ⋅derSn ( x, y, z ) dS
∫∫
F ( x, +y, z ) R(Px(,xy,, yz,) cos+γdQS( x, y, z ) j + R( x, y, z )k
Σ r Σ r r
∫∫
→ →
= ∫∫Σ P ( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z ) dxdy
Q x,y,z)在∑上对坐
zy, zy
∫∫ Σ F ( x, y, z ) ⋅ dS
2º 投影转换关系
r
有向曲面元
→
⎧d y d z = cosα d S 有向曲面元 dS
分别在 x 轴、
y 轴、z 轴上的
→
→
F x y z[ ( , , )∫∫ Σ ⋅=Σ∫∫ ⋅F x y z S( , , ) d
同方向与 ne
→
Sd⇒ =
于是 ⎪⎨ Sxzd d cos dβ=
⎪
→→→⎩ γd cosS=Sγyxd d cos d=
= + + kγjβiαe x y zn cos( , , ) cos cos 投影
去掉限制：cos γ > 0
∴ d x d y = cosγ d S = (d S ) xy
d y d z = cosα d S = (d S ) yz
d z d x = cos β d S = (d S )zx
3º
如：
∫∫ z d S ≠ 0
Σ
4º 存在性：
5º
Φ = ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y.
Σ
∫∫ F ( x, y, z ) ⋅ dS
6° 以流速 v = ( P , Q , R ), 通过 Σ流向 n 指定侧
6. 性质
(1) 线性性质：
(2) 可加性：
(3) 有向性:
研究第二类曲面积分, 必须注意曲面所取的侧.
∫∫Σ [α F 1 2 ] ⋅ dS = α∫∫Σ F 1 ⋅ dS + β ∫∫Σ F 2 ⋅ dS
∫∫Σ F ⋅ dS = ∫∫Σ1 F ⋅ dS + ∫∫Σ 2
F ⋅ dS = −∫∫ F ⋅ dS
(二) 两类曲面积分之间的联系
∫∫ P ( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy
Σ
= ∫∫[ P( x, y, z)cosα + Q( x, y, z)cos β + R( x, y, z)cosγ ]dS
Σ
→
⋅F x y z S( , , ) d F x y z x y z Sn[ ( , , ) e ( , , )]d∫∫ ⋅=
∫∫
e ( , , ) (cos , cos