第二类曲线积分与第二类曲面积分课件.ppt

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三、第二类曲线积分的计算法
理解第二类曲线积分的定义
掌握第二类曲线积分的计算方法
教学内容
教学目的
一、问题的提出
§(1).
一、问题的提出。
:变力沿曲线所作的功.
设L为平面上一条可求长的连续曲线段,一质点在变力
的作用下沿L从点A移动到点B,
求移动过程中变力所作
“大化小”
“常代变”
“近似和”
“取极限”
常力沿直线所作的功
解决办法:
的功W.
1)“大化小”.
2)“常代变”
把L分成n个小弧段,
有向小弧段
所做的功为
F沿
则
用有向线段
是单位向量。
近似代替,其中
则有
上任取一点
在
3)“近似和”
4)“取极限”
(其中为n个小弧段的最大长度)
.
设L为一条定向的可求长连续曲线,起点为A,
在L上每一点取单位切向量
终点为B。
使它与L的定向相一致。设向量函数
若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,
极限
都存在,
在有向曲线弧L上的第二类
则称此极限为函数
曲线积分.
其中,
L称为积分路径或积分曲线.
称为被积函数,
记作
(1)第二类曲线积分与方向有关,故题中都要指明L的方向。
故第二类曲线积分又可表示为:
(3)对空间
上的有向曲线L,第二类曲线积分就化为
其中
是L的切向量与x,y,z轴正向的夹角。
(2)由于
若为空间曲线弧,记
(4)若记
,第二类曲线积分也可写作
类似地,

(1)(路径可加性)若L可分成k条有向光滑曲线弧
(2)(方向性)用-L表示L的反向弧,则
则
定积分是第二类曲线积分的特例.
说明:
对第二类曲线积分必须注意积分弧段的方向!
二、第二类曲线积分的计算法
L为参数方程
L为一般方程
L为空间光滑曲线