奥数知识点翻杯子.docx

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翻杯子
不能翻成功
① 一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1次、3次、5次……即奇数: .
翻杯子
不能翻成功
① 一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1次、3次、5次……即奇数次。这样，根据奇、偶数的性质，可以发现：当杯子总数N为奇数而每次翻动的个数_M为偶数时，无论翻几次，都不能成功。因为需翻动杯子的总次数为奇数（奇数个奇数的和为奇数），而实际翻动总次数一定为偶数，显然奇数工偶数，所以不能成功。除此之外的其它情况都能翻成功，即：（杯子总数为N、每次翻动的个数为M）N为奇数、M为偶数时，无法翻成功；N为奇数、M为奇数时，且需翻动奇数次；（N<2M，为3次）N为偶数、M为奇数时，且需翻动偶数次；（N<2M，为4次）N为偶数、M为偶数时，且翻动奇、偶次均可。（N<2M，为3次）
最少需翻几次，怎样翻？
解题步骤：①能不能翻成功②能成功，翻几次
1、当N=M倍，需翻N训次例1、8个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下？解：①'-N与M同为偶数；.••能翻成功②翻2次（=8詔）
通常，考题中的N是不能被M整除的，也就是说，在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的，这时，翻成功的次数必》3次，具体最少是几次，取决于第一次翻动之后，剩余杯子数（N-M）和每次翻动杯子数M之间的关系。①N=M+1:②N>2M:③N<2M。
2、当N=M+1时，需翻次数=杯子总数=N次（轮翻）例1、有8个杯口全部向上的杯子，每次将其中7个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下？解：①--N为偶数，M为奇数；•••（偶数次）能翻成功
②翻8次（轮翻，次数=N）
具体操作如下：（O表示杯口朝上，•表示杯口朝下）OOOOOOOO第1次••••••第2次OOOOW第3次次第5次•••OOOS3次第7次•OOPPOC第T8次••••••••
（第1次第1个不翻，第2次第2个不翻，每3次第3个不翻oooooo第8次第8个不翻）结论：通过上图发现，每两次就能翻成两个，所以8个杯子每次翻7个需8次翻成功，共翻了56次，每个杯子翻了7次。事实上，每当重复翻动一个杯子，即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上，下次再翻成杯口朝下，这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次，假设不重复翻的话，相当于在原杯子总数N的基础上另外增加了两个杯子，即有（N+2）个杯子。同理，若需要重复翻动a个杯子就可看做共有（N+2a）个杯子需要翻动。显然，8个杯子，每次须翻动7个，那么第二次翻动时一定有6个杯子被重复翻动，可看成每次增加20=12个杯子，则翻动次数为（8+12X4）^7=8（次），8+12X4=56表示总次数，还可知每个杯子均被翻56£=7次。
2、当N>2M例2:有13个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口全部向下？解：①IN为奇数，M为奇数；.••能翻成功
②需翻动奇数次（13个奇数之和是奇数=5X翻动次数，翻动次数存在且必为奇数）具体操作如下：（O表示杯