奥数知识点翻杯子.doc

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不可以翻成功
一个杯口向上的杯子,要翻成杯口朝下,要翻动1次、3次、5次即奇数次。这样,
依据奇、偶数的性质,能够发现:当杯子总数N为奇数而每次翻动的个数M为偶数时,无
论翻几次,都不可以成功。由于需翻动杯子的总次数为奇数(奇数个奇数的和为奇数),而实
际翻动总次数必定为偶数,明显奇数≠偶数,因此不可以成功。除此以外的其余状况都能翻成功,即:(杯子总数为N、每次翻动的个数为M)
①N为奇数、M为偶数时,没法翻成功;
②N为奇数、M为奇数时,且需翻动奇数次;
③N为偶数、M为奇数时,且需翻动偶数次;
④N为偶数、M为偶数时,且翻动奇、偶次均可。

(N<2M,为(N<2M,为(N<2M,为

3次)
4次)
3次)
最少需翻几次,如何翻
解题步骤:①能不可以翻成功②能成功,翻几次
1、当N=M倍,需翻N÷M次
例1、8个杯口所有向上的杯子,每次将此中4个同时翻转,几次翻转杯口能所有向下解:①∵N与M同为偶数;∴能翻成功
②翻2次(=8÷4)
往常,考题中的N是不可以被M整除的,也就是说,在翻的过程中必定有些杯子是需要重复翻的,这时,翻成功的次数必≥3次,详细最少是几次,取决于第一次翻动以后,节余杯子数(N-M)和每次翻动杯子数M之间的关系。①N=M+1;②N>2M;③N<2M。
2、当N=M+1时,需翻次数=杯子总数=N次(轮翻)
例1、有8个杯口所有向上的杯子,每次将此中7个同时翻转,几次翻转杯口能所有向下解:①∵N为偶数,M为奇数;∴(偶数次)能翻成功
②翻8次(轮翻,次数=N)
详细操作以下:(○表示杯口向上,●表示杯口朝下)○○○○○○○○
第1次●●●●●●●○

第2次○○○○○○●●
第3次●●●●●○○○

第4次○○○○●●●●
第5次●●●○○○○○

第6次○○●●●●●●
第7次●○○○○○○○

第8次●●●●●●●●
(第1次序1个不翻,第2次序2个不翻,每3次序3个不翻。。。。。。第8次序8个不翻)
结论:经过上图发现,每两次就能翻成两个,因此8个杯子每次翻7个需8次翻成功,共翻了56次,每个杯子翻了7次。事实上,每当重复翻动一个杯子,马上已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口向上,下次再翻成杯口朝下,这个过程其实是将一个杯子多翻了两次,假定不重复翻的话,相当于在原杯子总数N的基础上此外增添了两个杯子,即有(N+2)个杯子。同理,若需要重复翻动a个杯子便可看做共有(N+2a)个杯子需要翻动。明显,8个杯子,每次须翻动7个,那么第二次翻动时必定有6个杯子被重复翻动,可当作每次增添2×6=12个杯子,则翻动次数为(8+12×4)÷7=8(次),8+12×4=56表示总次数,还可知每个杯子均被
翻56÷8=7次。
2、当N>2M
例2:有13个杯口所有向上的杯子,每次将此中5个同时翻转,几次翻转杯口所有向下
解:①∵N为奇数,M为奇数;∴能翻成功
②需翻动奇数次(13个奇数之和是奇数=5×翻动次数,翻动次数存在且必为奇数)
详细操作以下:(○表示杯口向上,●表示杯口朝下)○○○○○○○○○○○○○
第1次●●●●●○○○○○○○○(剩下的是偶数,先翻一个,再由左侧补足)第2次●●●●○●●●●○○○○
第3次●●●●●●●●●●●●●
(当剩下的杯子数是小于2M的偶数时,先翻动它的一半,再由左侧的补足)
例3:有12个杯口所有向上的杯子,每次将此中5个同时翻转,几次翻转杯口所有向下
解:①∵N为奇数,M为偶数;∴能翻成功
②需翻动偶数次(12个奇数之和是偶数=5×翻动次数,翻动次数存在且必为偶数)详细操作以下:(○表示杯口向上,●表示杯口朝下)○○○○○○○○○○○○
第1次●●●●●○○○○○○○(剩下的是奇数,先翻一个,再由左侧补足)第2次○○○○●●○○○○○○(剩下的是偶数,先翻一个,再由左侧补足)第3次●●●●●●●○○○○○
第4次●●●●●●●●●●●●
当剩下的杯子数是小于2M的奇数时,先翻动它的一个,再由左侧补足,变成乘下偶数)
3、当N<2M
(1)若N与M同偶或同奇,需3次。(2)若N是偶数,M是奇数,需4次。
例4:有8个杯口所有向上的杯子,每次将此中5个同时翻转,几次翻转杯口能所有向下解:①∵N为偶数,M为奇数;∴能翻成功
②需翻动偶数次(8个奇数之和是偶数=5×翻动次数,翻动次数存在且必为偶数)详细操作以下:(○表示杯口向上,●表示杯口朝下)○○○○○○○○
第1次●●●●●○○○(剩下的是奇数,先翻一个,再由左侧补足)第2次●○○○○●○○(剩下的是偶数,先翻一个,再由左侧补足)第3次○●●●○○○○第4次●●●●●●●●