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第9讲 双层规划
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最为常见且得到广泛研究与应用的多层规划是双层规划问题，即考虑只有两层决策者的情形。 这是因为现实的决策系统大都可以看成双层决策。
例如：中（non-deterministic polynomial，缩写NP）。所谓的非确定性是指，可用一定数量的运算去解决多项式时间内可解决的问题。 NP 问题通俗来说是其解的正确性能够被“很容易检查”的问题，这里“很容易检查”指的是存在一个多项式检查算法。
例如，著名的推销员旅行问题（Travel Saleman Problem or TSP）：假设一个推销员需要从香港出发，经过广州，北京，上海，…，等 n 个城市， 最后返回香港。 任意两个城市之间都有飞机直达，但票价不等。假设公司只给报销 C 元钱，问是否存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而且总的路费小于 C？
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推销员旅行问题显然是 NP 的。因为如果你任意给出一个行程安排，可以很容易算出旅行总开销。但是，要想知道一条总路费小于 C 的行程是否存在，在最坏情况下，必须检查所有可能的旅行安排！ 这将是个天文数字。
旅行推销员问题是数学图论中最著名的问题之一，即“已给一个n个点的完全图，每条边都有一个长度，求总长度最短的经过每个顶点正好一次的封闭回路”。Edmonds，Cook和Karp等人发现，这批难题有一个值得注意的性质，对其中一个问题存在有效算法时，每个问题都会有有效算法。
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迄今为止，这类问题中没有一个找到有效算法。倾向于接受NP完全问题（NP-Complet或NPC）和NP难题（NP-Hard或NPH）不存在有效算法这一猜想，认为这类问题的大型实例不能用精确算法求解，必须寻求这类问题的有效的近似算法。
此类问题中，经典的还有 子集和问题； Hamilton回路问题
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问题的复杂性：是指这个问题本身的复杂程度，是问题的性质。
算法的复杂性：是指解决问题的一个具体的算法的执行时间，是算法的性质。
问题 — 抽象 — 简化 判定性问题
四、双层规划计算的复杂性
只需回答yes or no
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例如：求从A到B的最短路径，可转化成：
从A到B是否有长度为1的路径？从A到B是否有长度为2的路径？…，从A到B是否有长度为k的路径？如果问到了k的时候回答了yes，则停止发问，我们可以说从A到B的最短路径就是k。
四、双层规划计算的复杂性
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四、双层规划计算的复杂性
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
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定义: 若函数图形上任意两点的连线段必在函数图形的上方(下方)，则称该函数为凸函数(凹函数)。
数学表达式定义为： 函数f(X)，对任意不相等的X1，X2∈(a,b), 以及λ∈(0, 1)，有
f[λX1+(1-λ)X2]≤λf(X1)+(1-λ)f(X2) , 则f(x)称作凸函数。
四、双层规划计算的复杂性
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其中 由下述规划求得
（U）
（L）
第一种情况：
如果下列双层规划的最优解为
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第二种情况：
如果上层决策者控制所有变量，双层规划变为
设其最优解为
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其中
第三种情况：
如果上下层决策者分别独立控制各自的决策变量，双层规划变为
设其最优解为
那么有下式存在：
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有下式存在：
除双层规划外，后两种情况都是求单层规划，较容易，因此可不直接求双层规划，而直接求后两类单层规划，然后尽量减小 与
， 与 之间的差异。
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其中 解
对上述问题，当 时，由 ，得 。当取 时，下层问题的最优目标函数值