相似三角形等积等比证明方法.docx

相似三角形等积等比证明方法.docx相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形: 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形, 并能根据问题需要舔加适当的辅助线, 构造出基本图形, 从而使问题得以解决. 【方法精讲】一、、“三点定形法”例1 、已知: 如图,Δ ABC 中,CE ⊥ AB,BF ⊥ AC. 求证: BA AC AF AE ?(判断“横定”还是“竖定”?) 例2、如图, CD 是 Rt△ ABC 的斜边 AB 上的高, ∠ BAC 的平分线分别交 BC 、 CD 于点 E、F, AC · AE=AF · AB 吗? 说明理由。分析方法: 1 )先将积式______________ 2 ) ______________ (“横定”还是“竖定”?) 练习 1、已知:如图, △ ABC 中, ∠ ACB=90 0, AB 的垂直平分线交 AB 于D ,交 BC 延长线于 F。求证: CD 2 =DE · DF 。二、过渡法(或叫代换法) 有些习题无论如何也构造不出相似三角形,这就要考虑灵活地运用“过渡”,其主要类型有三种,下面分情况说明. 1、等量过渡法(等线段代换法) 例1 :如图 3,△ ABC 中, AD 平分∠ BAC , AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E. 求证: DE2 = BE · CE . 2、等比过渡法(等比代换法) 当用三点定形法不能确定三角形,同时也无等线段代换时,可以考虑用等比代换法,即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥,也就是通过对已知条件或图形的深入分析,找到与求证的结论中某个比相等的比,并进行代换,然后再用三点定形法来确定三角形。例2 :如图 4 ,在△ ABC 中, ∠ BAC=90 °, AD ⊥ BC ,E是 AC 的中点, ED 交 AB 的延长线于点 F .求证: AB DF AC AF ?. 3 、等积过渡法(等积代换法) 思考问题的基本途径是:用三点定形法确定两个三角形,然后通过三角形相似推出线段成比例;若三点定形法不能确定两个相似三角形,则考虑用等量(线段)代换,或用等比代换,然后再用三点定形法确定相似三角形,若以上三种方法行不通时,则考虑用等积代换法。例3 :如图 5 ,在△ ABC 中, ∠ ACB=90 °, CD 是斜边 AB 上的高, G是 DC 延长线上一点,过 B作 BE ⊥ AG ,垂足为 E ,交 CD 于点 F .求证: CD2 = DF · DG . 小结:证明等积式思路口诀: “遇等积,化比例:横找竖找定相似; 不相似,不用急:等线等比来代替。”【同类练习】 1. 如图,点 D、E 分别在边 AB 、 AC 上,且∠ ADE= ∠C。求证:(1)△ ADE ∽△ ACB; (2)AD · AB=AE · AC. (1 题图) 2. 如图, △ ABC 中,点 DE 在边 BC 上,且△ ADE 是等边三角形, ∠ BAC=120 ° 求证: (1)△ ADB ∽△ CEA; (2) DE 2 =BD · CE; (3)AB · AC=AD · BC. 3. 如图, 平行四边形 ABCD 中, E为 BA 延长线上一点, ∠ D= ∠ ECA. 求证: AD · EC=AC · EB . (此题为陷阱题,应注意条件中唯一的角相等,考虑平