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四面体外接球的球心、半径求法
、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ,则体对角线长为
2 b22
l =Ja2 +b2+c2 ,几何体的外接球直径2R为体对角线长l图AMEF及内切圆O
不妨设OW平面MEF，于是O是AMEF的内心.
设球O的半径为r , 则r =——至四变——，设
EF EM MF
AD = EF = a, S amd =1.
2
.EM = 一,MF a
当且仅当
a = 2 ,即a = < 2时，等号成立 a
・•・当AD =ME = J2时，满足条件的球最大半径为J2-1.
练习：一个正四面体内切球的表面积为3n，求正四面体的棱长。（答案为：J2 ）
【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置,
作出截面图是解题的关键。
二、球与棱柱的组合体问题
：
球与正方体的每个面都相
切，切点为每个面的中心， 显然
图3
图4
球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ,球半径为R。
a
如图3,截面图为正万形 EFGH的内切圆，得 R = f ;
2
2.
与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图
4作截面图，圆。为
正方形
3.
正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图
5,以对角面 AAi作截面图得，圆 。为矩
.3
形AA1c1c的外接圆，易得 R = A10=、a。
2
P、A、B、C .如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC = a, 那么这个球的表面积是.
解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长
就是球的直径，连结过点 C的一条对角线 CD ,则CD过球心O,对角线CD = J3a
S球表面积=4 | 2—
练习：一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不
至于变形时的球的体积。（答案为 V42a3 二
4
■■■ 6 3
Ta)
，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直 角三角形便可得球半径。
ABC - A1B1c1的六个顶点在球 O1上，又知球02与此正三棱柱的 5个面都相切，求
球O1与球。2的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6,由题意得两球心
01、O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 AAi和它们的球心作截面,
设正三棱柱底面边长为 a ,则R2
=®a ,正三棱柱的高为
6
V3
h =2R2 =——a ,由 Rt&AD10 中，得
3
Ei
Bi
E
R12
5 2
二一 a
12
.2
EFGH的外接圆，易得 R = —a o
2
Ri = j15a,Si: S2=R：：R22=5:1,Vi:V2=5V5 ： 1
练习：正四棱柱ABCD -AB1cl D1的各顶点都在半径为 R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。
(答案为：4<2R2)
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、
线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数 量关系，是解决这类问题的最佳途径。
勾股定理知，假设正四面体的边长为 a时，它的外接球半径为 —a0
4
平面向量
重点知识回顾
.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.
-I .
.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x
轴、y轴方向相同的两个单位向量「、j作为基底。任彳^一个向量 a,由平面向量基本定理知，有且只有
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一对实数x、y ,使得a=xi + yj , (x, y)叫做向量a的(直角)坐标，记作 a = (x, y),其中x叫做a在
x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，f =(1,0) , j =(0,1) , 0 = (0,0) 。a = [ x2 y2 ；
若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB=(x2 —x1，y2 -y1)，[ab ]=形—x“2 +(y? —y"2
.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为 0 ;②长度为1个单位长度的向量，叫单
位向量.(注：-a-就是