非线性方程求根二分法.ppt

非线性方程求根二分法
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第1页，共10页，编辑于2022年，星期三
方程是在科学研究中不可缺少的工具
方程求解是科学计算中一个重要的研究对象
几百年前就已经找到
了代数方程中二次至
五次方程的求解公式
但非线性方程求根二分法
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方程是在科学研究中不可缺少的工具
方程求解是科学计算中一个重要的研究对象
几百年前就已经找到
了代数方程中二次至
五次方程的求解公式
但是,对于更高次数
的代数方程目前仍
无有效的精确解法
对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法
因此,研究非线性方程的数值解法成为必然
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设非线性方程
--------(1)
本节主要研究单根区间上的求解方法
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方程的数值解法的收敛性，也与方程根的重数有关。对于一般的函数　　　　　　　，若有
其中m为正整数，我们称　是f(x)的m重零点，或称　是方程f(x)=0的m重根。显然，若　是f(x)的m重零点，且g(x)充分光滑，则有
要求出方程的所有实根，往往要先进行所谓“根的搜索”，即先找出有根的区间，然后再在有根区间上求各个根的近似值。
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二分法
二分法的基本思想，就是逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求出满足给定精度的根 的近似解，具体做法如下
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记 ，先将[a,b]分半，计算中点 及 ，如果 则 ；否则
不妨设 ，并记 则根 这样就得到长度缩小一半的有根区间 即
对有根区间 重复上述步骤，即分半求中点，判断函数值符号，则可得到长度又缩小一半的有根区间 。
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重复上述步骤，第k步就得到根 的近似
值序列 及包含根 的区间套，且有
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且 以等比数列的收敛速度
收敛于 。因此，用二分法求f(x)=0的实根
可以达到任意指定精度。事实上，对于任意
给定的精度要求