非线性方程求根方程求根与二分法.ppt

第七章 非线性方程求根
方程求根与二分法
迭代法及其收敛性
迭代法收敛的加速方法

弦截法与抛物线法
解非线性方程组的牛顿迭代法
非线性方程求根方程求根与二分法
本章讨论非线性方程 的求根问题，其中一类
特殊的问题就是多项式方程
的求根。
方程 的根 又称为 的零点，它使
若 可表示为 ，其中 为正整数，且
。当 时，称 为单根，若 称 为 重
根，或 的 重零点。若 是 的 重零点，且
充分光滑，则
方程求根与二分法
非线性方程求根方程求根与二分法
当 为代数多项式时，根据代数基本定理可知，
次方程在复数域有且只有 个根，因此可利用迭代
法求代数方程的根。
二分法
若 ，且 ，根据连续函数性质
可知 在 内至少有一个实根，此时称 为方程
若 可表示为 ，其中 为正整数，且
。当 时，称 为单根，若 称 为 重
根，或 的 重零点。若 是 的 重零点，且
充分光滑，则
方程求根与二分法
非线性方程求根方程求根与二分法
方程求根与二分法
当 为代数多项式时，根据代数基本定理可知，
次方程在复数域有且只有 个根，因此可利用迭代
法求代数方程的根。
二分法
若 ，且 ，根据连续函数性质
可知 在 内至少有一个实根，此时称 为方程
的有根区间。
例：求方程 的有根区间。
解：通过计算部分点的函数值，得到如下结果：
由此得到方程的有根区间为： 。
0
1
2
3
4
5
6
的符号
－
－
＋
＋
－
－
＋
非线性方程求根方程求根与二分法
方程求根与二分法
二分算法
设已找到有根区间 ，满足 ，且
在 上只有一个零点，步骤如下：
(1) 先设 对于一般的区间 ，设其中点
为：
(2) 检验 的符号，若与 同号，就取 ，
的有根区间。
例：求方程 的有根区间。
解：通过计算部分点的函数值，得到如下结果：
由此得到方程的有根区间为： 。
0
1
2
3
4
5
6
的符号
－
－
＋
＋
－
－
＋
非线性方程求根方程求根与二分法
方程求根与二分法
二分算法
设已找到有根区间 ，满足 ，且
在 上只有一个零点，步骤如下：
(1) 先设 对于一般的区间 ，设其中点
为：
(2) 检验 的符号，若与 同号，就取 ，
否则取 这样必有
所以 就是新的有根区间，继续此过程，即可得
到结果。
算法：(1)令
(2) 若 或 ，则输出 ，结束
(3) 若 ，则令 ，否则令
(4) 转向1)
非线性方程求根方程求根与二分法
方程求根与二分法
这样，我们得到了一个序列 ，为确定 的收敛性
我们有如下的定理：
定理：设 则二分算法产生的
序列 满足 其中 为方程的根。
证明：因为 由