成考高数1数学公式.doc

成考高数1_数学公式
  导数公式
  (C)¢ =0
  (x)¢=1,(kx)¢=k(x)¢=axa
  xxa-1(a)¢=alna
  (e)¢=exx
  (logax)¢=
  (lnx)¢=1
  x1xlnalim
  n
  an+1an
  n®¥
  =r 则
  1
  1。当0<r<+¥时,幂级数
  ¥
  å
  n=0n
  anx 的收敛半径是x 的收敛半径是
  n
  R=
  r
  ;
  2。当r=+¥时,幂级数
  ¥
  åa
  n=0
  n
  R=0;R=+¥;
  3。当r=0时,幂级数
  åa
  n=0
  x 的收敛半径是
  n
  
  麦克劳林级数
  f(x)=f(0)+f¢(0)x+常用初等函数展开为11-x
  x
  2
  f¢¢(0)2!
  x+L+
  2
  f
  (n)
  (0)
  n!
  x
  n
  麦克劳林级数
  n
  =1+x+x+L+x,(x<1)
  xx
  32
  e=1+x+sinx=x-
  2!3!x
  2
  +L++x
  5
  x
  n
  n!
  ,(-¥<x<+¥)
  n-1
  5!x
  4
  +L+(-1)
  x
  2n-1
  (2n-1)!
  n-1
  ,(-¥<x<+¥)
  cosx=1-
  n
  2!
  +
  4!
  +L+(-1)
  2
  x
  2n
  (2n)!
  ,(-¥<x<+¥)
  x,(x<1)
  n
  (1+x)=1+ax+11+x
  2
  a(a-1)2!
  x+L+
  n
  n
  a(a-1)L(a-n+1)
  n!
  =1-x+x+L+(-1)x,(x<1)
  xx
  2
  
  ln(1+x)=x-arctanx=x-
  2
  3
  ++
  xx
  3
  3
  5
  +L+
  (-1)
  n
  n+1
  x
  n+1
  ,(x<1)
  2n-1
  35
  +L+(-1)
  n-1
  x
  (2n-1)
  ,(x£1)
  
  一阶微分方程对形如对方程
  dydxdydx
  =p(x)q(y),即
  dyq(y)
  =p(x)dx,两边求积分即可的通解
  :
  +P(x)y=Q(x) (1) 求通解过程如下
  dydx
  +P(x)y=0 的通解
  1。先求对应方程
  -P(x)dx
  y=Ceò (2)
  2。将(2)中的C换成x的未知函数
  -P(x)dx y=u(x)eò (3)
  u(x),做变换为
  
  3。在对 (3) 求微分得
  dydx
  -P(x)dx-P(x)dx
  =u¢eò -uP(x)eò (4)
  4。将(3),(4)代入(1)可得 u = òQ(x)e
  òP(x)dx
  dx+C (5)
  5。把(5)代入(3)可得方程(1)的通解为:
  -P(x)dx-P(x)dx-P(x)dxòP(x)dxò y=Ceò+eòQ(x)edx=e(C+ò
  òQ(x)e
  òP(x)dx
  dx)
  
  二阶常系数微分方程的
  求解
  y¢¢+py¢+qy=0 (1)1。 (1)对应的特征方程为
  :
  r¢¢+pr¢+q=0 (2)2. 解得特征方程3.(1)的通解为:(1). y=C1e1+C2e(2). y=(C1+C2x)e
  ax
  rx
  r2xr1x
  (2)的根为r1,2=
  -p±p-4q2
  ,且r1<r2;;
  ,
  2
  , r1,r2为两不相等的实根, r1,r2为两相等的实根
  (3). y=e(C1cosbx+C2sinbx),r1,r2为一对共轭复根 其中r1,2=a±ib; a=-
  p2,b=
  4q-p2
  2
  ;
  二阶阶常系数非齐次方求解
  y¢¢+py¢+qy=f(x), (1)f(x)=Plx
  m(x)e
  , Pm(x)是一个m次的多项式,即
  m
  P=
  åa
  m
  m(x)m
  x
  
  则 通解为:
  y= (x)+ y*
  (x), (2)其中为(1)对应齐次方程的通解,y*