概率论与数理统计 练习及答案 第二章gll07_jy0201[统计学经典理论].doc

第二章随机变量及其概率分布
内容简介
,讨论了离散型和连续型两种随机变量,介绍了几种常用的随机变量。
:离散型随机变量及其分布律,连续型随机变量及其概率密度,二项分布与正态分布。
考点分析

2007年4月
2007年7月
2007年10月
选择题
2题4分
1题2分
2题4分
填空题
2题4分
2题4分
2题4分
计算题

1题8分

综合题
1题4分

1题12分
合计
5题12分
4题14分
5题20分
内容讲解
§ 离散型随机变量

(1)引入随机变量的理由:①“常量”到“变量”;②全面研究随机试验的需要。
(2)如何引入:一类:随机试验的结果用数量表示的,直接数量化。如:掷骰子,设出现的点数为随机变量X,则X=1,2,3,4,5,6分别表示事件“出现一点”,“出现二点”,…,“出现六点”。另一类:试验结果不是用数量表示的,如:掷硬币,双方比赛的结果等,可以人为赋值,如掷硬币,设结果为随机变量Y,“出现正面”用“Y=1”表示,“出现反面”用“Y=0”表示。如果双方比赛结果使用记分法,可以用分数表示,“Z=3”表示“胜”,“Z=1”表示“平”,“Z=0”表示“负”,等等。
(3)定义:设E是随机试验,样本空间为Ω,如果对于每一个样本点ω∈Ω,有一个实数X(ω)与之对应,则称X=X(ω)为随机变量,记做X, Y, Z,…。
(4)解释:①随机变量不是普通变量,它的取值不是任意的,它是以一定的可能性(概率)取某一个值的,即具有随机性,因此称为“随机变量”;
②在一次随机试验中,可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。
③引入随机变量后,可用随机变量来描述事件,如掷骰子,设出现的点数为随机变量X,则“出现4点”可表示为{X=4},“不少于4点”可表示为{X≥4},等等。
所以,其概率可表示为P{X=4}=1/6, P{X≥4}=1/2。

(1)离散型随机变量定义:若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值,则称X为离散型随机变量。如掷骰子出现的点数,医院门诊一天接待的患者数,某停车场内停放的车辆数,等等,都是离散型随机变量。
(2)离散型随机变量的分布律:设X为离散型随机变量,可能取值为x1,x2,…,xk,…,且P{X=xk }=pk,k=1,2,…,则称{ pk }为X的分布律(或分布列,概率分布)。
分布律也可以用表格形式表示:

(3)分布律{pk}的性质:① pk≥0,k=1,2,…;
②.
反之,若一个数列{pk}具有以上两条性质,则它可以作为某随机变量的分布律。
(4)用途:可用分布律求任意事件的概率
.

【例2-1】设离散型随机变量X的分布律为:

求常数c。
【答疑编号12020101】
解:由分布律性的性质知
1=+c+
解得c=。

【例2-4】已知一批零件共10个,其中有3个不合格,现任取一件使用,若取到不合格零件,则丢弃,再重新抽取一个,如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。
【答疑编号12020102】
解:X的取值为0,1,2,3。
设Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取出的零件是不合格的”,
利用概率乘法公式可计算得

P{X=1}=
P{X=2}=
P{X=3}=
故X的分布律为


【例2-5】对某一目标连续进行射击,直到击中目标为止。如果每次射击的命中率为p,求射击次数X的分布律。
【答疑编号12020103】
解:X的取值为1,2,…。设Ai(i=1,2,…)表示“第i次射击未中”,事件{X=k}表示“前k-1次射击未中,第k次命中“,则,而每次射击命中与否又是相互独立的,即A1,A2,…Ak相互独立。
X的分布律为


=(1-p)k-1p,k=1,2,…。

(1)0-1分布(两点分布)
定义:若随机变量X只取两个可能值0,1,且P{X=1}=p,P{X=0}=q, 其中0<p<1,q=1-p, 则称X服从0-1分布,其分布律为

举例:掷一枚硬币出现正面,向靶子射一发子弹等。
(2)二项分布
定义:若随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,而X的分布律为
,k=0,1,2,…,n

其中0<p<1,q=1-p, 则称X服从参数为n,p的二项分布,记做X