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函数的单调性证明
•解答题（共40小题）
：函数f （x）丄在（—K, 0）上是减函数.
：函数f （x） =4x—在（
0,—）上递减
：函数f
(x) =4x+—在(0,
x
■-）上递减，在卜厂,
+x）上递增.
【解答】证明：设0<xi<X2<：-,
则 f (xi)
(X2) = (4xi+ J )
g
(4x2+ ■ ) =4 (xi - X2)
=(Xi -
X2)
又由 则(xi - X2)< 0, (4xiX2 - 9)< 0, (xiX2)> 0,
则f (x1)- f (x2)> 0,则函数f (x)在(0,二)上递减,
设二 W X3< X4,
同理可得：f (X3)— f (X4) = ( X3 - X4)( ),
I X3S4 |
又由—W X3< X4,
2
则(x3— x4)< 0, (4x3x4 — 9)> 0, (xlx2)> 0,
则 f (X3)- f (X4)< 0,则函数 f (x)在[-,+x)上递增.
3 •证明f (x) = •「在定义域为［0，+x)是增函数.
【解答】证明：设xi, X2€ ［0 , +x),且xi<X2,贝U：
xi, X2 € [0 , +x),且 xi<X2；
•••勺-x产0，石?+伍〉U；
/• f ( Xi)< f (X2)；
• f (x)在定义域［0 , +x)上是增函数.
：函数
(x)
=x+」在区间(0, 2) 上是减函数.
【解答】证明：任取x1, X2€ (0, 2),且xi<x2,
因为 O<xi<X2<2,所以 xi — X2<0, xiX2<4,
所以 f ( Xi)— f ( X2)> 0, 即 卩 f ( Xi)> f ( X2 ), 所以f (x) =x』在(0, 2)上为减函数.
证明函数f (x) =2x —丄在(-x, 0)上是增函数.
【解答】解：设X1VX2V0,
f ( X1)— f ( X2)
=2x1 — ^― — 2x2+^
■/ X1 VX2V 0,
X1 — x2V0, 2+ I >0,
f ( X1)— f ( X2)V 0,
即：f (X1)V f (X2),
•函数f (x) =2x ——在(-x, 0)上是增函数.
证明：函数f (x)=x2+3在［0 , +x)上的单调性.
【解答】解：任取0w x1 VX2,
则 f (x1)— f (x2)=.-. -
=(X计 X2)( X1 — X2)
因为 Ow X1 V X2,所以 X1+X2> 0, X1 — X2V 0,
故原式 f ( X1) — f (X2)V 0,
即f (X1)V f ( X2),所以原函数在［0 , +x)是单调递增函数.
证明：函数y=丄一在(-1, +x)上是单调增函数.
【解答】解：•••函数f (X) 三厂=1-士在在区间(-1, +x),
y+1 r+1
可以设—1 V X1V X2 ,
可得 f (Xi) - f (X2)=1 ——-—
it [+1
A1 A2
(呵+ 1 )(七十1)
■/ — 1 VXiVX2V 0, /• X1 + 1 >0, 1+X2 >0, X1 — X2V 0,
• V 0
(Xj+1)(Zj+15
f ( X1)V f ( X2),
f (x)在区间(-x, 0)上为增函数;
求证：f (x) =一在 ( — x, 0)上递增，在(0, +x)上递增.
【解答】证明：设X1 V X2，则f ( X1) — f ( X2)
X1VX2,A X1 — X2 V 0,
• ••若 X1V X2V 0,贝 U X1X2> 0,此时 f ( X1)— f ( X2)V 0, 即 卩 f ( X1)V f ( X2),此 时函数单调递增.
若 0V X1 V X2,贝 U X1X2> 0,此时 f ( X1)— f ( X2 ) V 0, 即 卩 f ( X1) V f ( X2)，此时
函数单调递增.
即f (X)=-二在(-x, 0)上递增，在(0, +x)上递增.
用函数单调性的定义证明函数 y丄在区间(0, +x)上为减函数.
x
【解答】解：•••函数y=「在区间(0, +x),
可以设0v x1 VX2,
2 2
1 1 七一兀1
可得 f (X1)— f (X2) = 2 — = - 2~>0,
咒1 七 衍X s2