罗朗 级数.ppt

§ 罗朗级数展开引入:由幂级数的形式和 Able 定理我们知道: 泰勒级数存在一个收敛圆,其和函数是一个解析函数,且在内绝对收敛,在较小的同心闭圆内一致收敛。而且可以逐项求导和逐项积分。同时在收敛园内的解析函数可展成泰勒级数。现在我们研究以 z 0为心的环形区域,级数是收敛的,并且幂级数在收敛园的许多性质,该级数在收敛圆环域内也同样具有,例如:级数的和函数在收敛环域内是解析的,而且可以逐项求导和积分 Raz??Raz??Raz???? 21RazR??????????? n nnzzc 0相反的问题?当研究的区域存在奇点时,我们不能将函数展成泰勒级数。设想去考虑除去奇点的圆环形区域的函数的展开的问题: ?圆环域内的解析函数是否一定可以展开为级数? ?如果能,级数的形式如何? 1、定义:在环形区域内的解析函数 f(z )?--> 罗朗级数罗朗级数在内绝对收敛, 在内一致收敛。???????? n nnzzc 0102RzzR??? 11022RrzzrR?????这是一个双边幂级数。?正项幂级数?-?解析部分?负项幂级数?-?主要部分?级数在环形域内绝对且一致收敛,其和为一解析函数,级数可逐项积分和逐项求导,环域称为级数的收敛环。当 R 2 >R 1时级数发散。??????, 0 0 202010?????????? n kkzzazzazzaa??????? 1 2 1 2 0 1 0 0 kk a z z a z z a z z ?? ?? ???? ??????? 102RzzR??? 102RzzR????圆环域内的解析函数--- 〉罗朗展开定理 2、罗朗展开定理: 若函数 f(z )在圆环域内解析,则其中式中 C是在环形域内逆时针方向绕内圆一周的任意闭曲线。关于定理的证明见 p 55-56 102RzzR??????? 1020RzzRzzazf n kk?????????????????? C k kdz fi a???? 102 1 0z 1RC 2RC 2R 1RC3、几点注意?展开中心 z 0不一定是函数的奇点例如将展开成罗朗级数 z=0 不是函数的奇点,是级数的奇点, f(z )在 z=0 是解析的。是函数的奇点。实际上罗朗展开定理并未涉及 f(z )在 z=z 0是否解析的问题。?展开系数公式因为 f(z )在内总是有奇点的。若z 0是 f(z )的奇点,则不存在。若z 0不是 f(z )的奇点, ?? 1 1 2??z zf ???? 642111zzz 1??z??! 0 )(k zfa kk?Rzz?? 0???? 0zf k????????! 0 0kzfazf kk k?存在,但仍有其原因是要求在围线 C 内 f(z )解析。?如果只有环心 z 0是 f(z )的奇点,此时 z可以无限接近 z 0点,则展式为 f(z )在孤立奇点邻域内的罗朗展式。?将环域内的解析函数展成罗朗级数, 展式是唯一的???????????? C k kdz zz zfi kzf 10 02 !?4、展开方法?直接利用展开定理(机会较少) ?利用常用函数的泰勒展式和运算及性质通过各种手段展开举例把函数在z 0 =0 的环域内展成罗朗级数解: ?? 2z ezf z?...!4!3!2 111 ...) !3!2 1( 11 22 2 32 222?????????????zzzz zzzz ezz e z z例:把函数在内展成罗朗级数解: 所以???? 1 1??zz zf110,10?????zz...... 11 1 1,10 1 11)1( 1)( 32???????????????? nzzzzz zz zzzz zf故: 由于内在......1)1( 1)( 21?????????nzzzzz zf...)1()1(...)1(1)1( ...] )1()1(...)1()1(1[1 1 )1(1 11 1)1( 1)1( 1)( 110 11 1 2????????????????????????????????????????nn nnzzz zzzz zzzzzz zf z内在例:将函数(1)在 z=0 的邻域内展开;( 2)以 z=0 为中心展开; (3)在环域中展开;( 4)在奇点的去心邻域中展开解: (1) z=0 的邻域,即--- 〉泰勒展开?????? 21 1???zz zf11??z???????? 1 12 121 1???????zzzz zf1?z12????????????????????? 0 1 12 122 12 1 12 12 1 k kk