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数学(shùxué)为什么难以理解？
　　 郝宁湘
一、彭加勒问题与彭氏解答
数学为什么难以理解？这是世界出名数学家、科学家和哲学家彭加勒在其?科学与编制?一书中提出的问题〔以下简称彭加勒问题〕。尽管彭加勒的科学哲学思惟和数学哲学〕。更首要的是，在彭加勒看来，只有超常的记忆力和注重力，而没罕见学直觉的人，他们可以理解数学，有时还能应用数学，但不能创作发明数学；而具有这种出格的数学直觉的人，尽管记忆力和注重力毫无非同泛泛之处，他们也能理解数学，并且可以成为数学创作发明者。此外，数学直不雅观不仅能帮助人们猜想出数学证实所需的但又记忆不清的命题和法那么，并且更首要的是可以帮助人们从整体上或全局上选择一条走向成功的道路。彭加勒精确地指出，你假设只能辩认一个推理过程是否精确，而不知道为什么要选择这种推理而不是那种推理，那么你便会陷入困境。而逻辑只能告诉我们一个推理是否精确，“可是它不会告诉我们那一条路能达到目的。为此，必需从远处了望目的，教导我们了望的才能是直觉〞〔［１］Ｐ４３３〕。可见，彭加勒认为，缺乏数学直觉是数学为什么难以理解的根柢原因。最后，数学直觉还有一个传染感动，它能使完全抽象的、符号化的数学思维凭借于必然的形象思维、直不雅观思维。彭加勒认为，“恰是经由过程直觉，数学世界才能仍然与真实世界保持接触，……以填平把符号与其实分袂隔的鸿沟〞〔［１］Ｐ４３２〕。人们〔尤其是学生〕的思维往往承当不起形式化较高的抽象思维，需要有一种形象的直不雅观的其实作为抽象思维的凭借，数学直觉在此就起到一种“桥梁〞的传染感动。不过彭加勒也没有过高地垂青直觉的这层传染感动，因为在他看来，过于依靠形象与直不雅观，是造成数学犯错和数学难以理解的又一原因。其出处是，形象的、直不雅观的东西往往是粗拙的、不成靠的，而数学需要的是严格与精神；数学推理也经常掉踪臂人的直不雅观想象，推论出与直不雅观相违犯的结论。我们认为还有一条同样首要的出处，即持久过于依靠形象的直不雅观的思维编制，会使这种思维编制成为一小我的思维定式，从而严重影响这小我的抽象思维才能的开展。最后，彭加勒认为，缺乏精确的推理身手也是数学犯错与数学难以理解的一大年夜原因。指出“数学教师首先理当培育精确推理身手，……我们应该不竭地仿效和称道这些形式〔指数学家已经给出的数学推理形式——引者注〕〞。认为要“有足够的机会使学生操练数学那一部分中的精确推理〞〔［１］Ｐ４３３〕。在此彭加勒很是强调了操练的首要性。
经过以上阐述，我们认为，彭加勒把数学推理为何会犯错以及数学为什么难以理解的原因归结为以下四点了：１．记忆力和注重力较差；２．缺乏数学直觉；３．过于依靠形象思维、直不雅观思维；４．缺乏精确的推理身手。其中缺乏数学直觉是最根柢的原因。对于这个解答，我们认为它部分地解决了数学为什么难以理解这个问题，但也存在着需要进一步完美的处所。无疑，这是一个难解而又具有重大(zhòngdà)年夜教育学意义的问题。
二、数学坚苦与数学素质
对于绝大年夜大年夜都人，数学〔尤其是高深的现代数学〕是难以理解的，数学推理是等闲犯错的〔数学家也犯错误〕，这是众所公认的事实。但数学为什么难以理解、为什么等闲犯错，很少有人对此作过深化的考虑。彭加勒大白地提出了这一问题，并为解决此问题做出了首要奉献，我们愿在此根底上提出本身的几点浅见。为此，我们想先提出“数学坚苦〞和“数学素质〞这两个根柢概念。因为数学的难以理解和易于犯错就是因为数学坚苦的存在，而数学坚苦的存在那么在于人们数学素质的相对低下。需要声名的是，本文所说的数学坚苦和数学素质只是相对于一般人理解数学而言的，而不泛指数学家创作发明数学的坚苦和所需素质。当然二者之间也可能有共同的处所。
我们认为，数学坚苦有以下三种不合的分类：一是合理性坚苦，指对一个数学推理或一个概念等的合理性的辩认坚苦。如经常有学生搞不明晰在一个推理过程中从这一步到下一步的出处是什么；也有的学生对一个数学概念的意义不理解，对一个公理或定理的操纵前提、规模搞不明晰。二是抽象性坚苦，指运用或进展符号的形式化的抽象思维的坚苦。如良多人进修抽象性较弱而直不雅观性较强的初等数学时很等闲，而进修抽象性较强而直不雅观性较弱的高档数学时很坚苦。三是选择性坚苦，指对一个数学问题解决的编制、路子等的选择性坚苦。如经常有学生面对一个数学问题不知假设何下手，不知道应该选择〔应用〕哪一个公里、定理，甚至不理解别报答什么这样做而不那样做。这三种坚苦中，合理性坚苦是最根柢的〔具有较大年夜合理性坚苦的人往往就是数学成就较差的人〕，抽象性坚苦是高一层次的坚苦，可以抑制(yìzhì)这一层坚苦的人，一般对所学的东西都能自如的把握〔将来至少是个应用数学的好手〕，选择性坚苦是最高层次的坚苦，能不能抑制这层坚苦，将抉择一小我能不能在数学上有较