余弦定理的证明方法大全(共十法).doc

余弦定理的证明方法大全(共十法)
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余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
BDCD
AD2
BDCD
cosA
b
c
b
bc
c
2AD2
2BDCD
c2
BD2
b2
CD2
2BDCD
2bc
2bc
b2
c2
(BDCD)2
b2
c2
a2
2bc
2bc
整理可得a2
b2
c2
2bccosA.
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法四:在
ABC中,由正弦定理可得
a
b
c
c
sinA
sinB
sinC
.
sin(AB)
进而有bsinAasinB,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
将①入②,整理可得acosBcbcosA.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③
将①,③平方相加可得a2(cbcosA)2(bsinA)2b2c22bccosA.
即,a2b2c22bccosA.
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法五:成立平面直角坐系(如4),由意可得点

y
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C
A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点距离公式可得
a2
(cbcosA)2
(bsinA)2
c2
2cbcosA
b2.
即,a2
b2
c2
2bccosA.
A(O)
图4
Bx
法六:在
ABC中,由正弦定理可得a
2RsinA,b2RsinB,c
2RsinC.
于是,a2
4R2sin2A
4R2sin2(BC)
4R2(sin
2
Bcos2C
cos2Bsin2C
2sinBsinCcosBcosC)
4R2(sin
2
B
sin2C
2sin2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC)
4R2(sin
2
B
sin2C
2sinBsinCcos(BC))
4R2(sin
2
B
sin2C
2sinBsinCcosA)