高中不等式的证明方法(共7页).doc

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不等式的证明方法
不等式的证明是高中数学= (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．
∴(a＋2)＋(b＋2)≥．
六、利用“1”的代换型
17、策略：做“1”的代换。
证明： .
七、反证法
反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。
18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法
假设p＋q＞2，则(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq (p＋q)＞8，∵p＋q= 2，∴pq (p＋q)＞2．
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故pq (p＋q)＞2 = p＋q= (p＋q)( p－pq＋q)，又p＞0，q＞0 p＋q＞0，
∴pq＞p－pq＋q，即(p－q) ＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．
19、已知、、（0，1），求证：，，，不能均大于。
证明：假设，，均大于∵ ，均为正 ∴
同理 ∴
∴ 不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确
20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同时大于。
证明：假设三式同时大于∵0＜a＜1 ∴1－a＞0 ∴
21、、、，，，，求证：、、均为正数。
证明：反证法：假设、、不均为正数 又 ∵ 、、两负一正
不妨设，， 又 ∵ ∴ 同乘以 ∴ 即，与已知矛盾
∴ 假设不成立 ∴ 、、均为正数
八、放缩法
放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩
22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＋＋＋＜2．
证明：∵＜＜，＜＜，
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＜＜，＜＜，
将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜＋＋＋＜2．
23、，求证：。
证明：∵
∴  

判别式法
24、A、B、C为的内角，、、为任意实数，求证：。
证明：构造函数，判别式法令
为开口向上的抛物线


无论、为何值， ∴ ∴ 命题真
九、构造函数法
构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
证明：视a为自变量，构造一次函数= 4a＋b＋c＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b＋c－2bc)，由0≤a≤2，知表示一条线段．又= b＋c－2bc = (b－c)≥0，= b＋