高等数学无穷级数.ppt

高等数学无穷级数课件
本讲稿第一页，共五十三页
一、常数项级数及其敛散性
1．常数项级数的概念
定义1 设给定一个数列 则表达式
，，性质5只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使 ，也不能由此判定级数 ： ，但级数 发散.
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例7　 证明调和级数 是发散级数.
证　 调和级数部分和 如图，
考察曲线
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，所围成的曲边梯形的面
积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.
所以，阴影部分的总面积为
它显然大于曲边梯形的面积S，即有
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而 ，表明A的极限不存在，所以该级数发散.
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二、正项级数及其敛散性
如果 ≥0（n=1,2,3…），则称级数 为正项级数
定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.
例1 证明正项级数 是收敛的
证 因为
于是对任意的有
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即正项级数的部分和数列有界，故级数 收敛.
定理2（比较判别法） 设 和 是两个正项级数，且
(1)若级数 收敛，则级数 也收敛；
(2)若级数 发散，则级数 也发散.
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例2 讨论 级数 （ ）的敛散性 （证明了解，结论）
解 当 时， ，因为 发散，所以由比较判别法知，当 时，发散.
当 时，顺次把 级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，…加括号后得
它的各项显然小于级数
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对应的各项，而所得级数是等比级数，其公比为 ，故收敛，于是当 时，级数 收敛.
综上所述， 级数 当 时发散，当 时收敛.
注意 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关 级数敛散性的结论必须牢记.
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例3判定级数 的敛散性.
解 因为级数的一般项 满足
而级数是p＝2的 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.
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重要参照级数:
等比级数, p-级数。
定理3 比较判别法的极限形式:
注:
须有参照级数.
比较审敛法的不方便——
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解
发散.
故原级数收敛.
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定理4（达朗贝尔比值判别法） 设 是一个正项级数，并且 ，则
(1)当 时，级数收敛；
(2)当 时，级数发散；
(3)当 时，级数可能收敛，也可能发散.
例6 判别下列级数的敛散性
(1) ； (2)
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解 (1)
所以级数 发散；
(2)
所以级数 收敛.
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解
解
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定理6(根值判别法，柯西判别法)
设 为正项级数，且
（1）当 时，级数收敛；
（2）当 时，级数发散；
（3）当 时级数可能收敛也可能 发散
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