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— 1—中国大学生数学竞赛竞赛大纲( 初稿) (一) 中国大学生数学竞赛( 数学专业类) 竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占 50% ,高等代数占 35% ,解析几何占 15% ,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数 1. 实数集?、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. ?上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、 2?上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列, 以及上述概念和定理在 n?上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义, 隐函数概念, 反函数与逆变换, 反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质) . 2. 数列收敛的条件( Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系) ,极限 1 lim(1 ) nnen ??? ?及其应用. 3. 一元函数极限的定义、函数极限的基本性质( 唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性), 归结原则和 Cauchy 收敛准则, 两个重要极限 sin10 lim 1, lim(1 ) xx x x x x e ? ??? ??及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号 O与o的意义, 多元函数重极限与累次极限概念、基本性质, 二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质( 局部有界性、保号性), 有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性) . 三、一元函数微分学 1. 导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2. 微分学基本定理: Fermat 定理, Rolle 定理, Lagrange 定理, Cauchy 定理, Taylo r 公式( Peano 余项与 Lagrange 余项). 3. 一元微分学的应用: 函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达( L'Hospital )法则、近似计算. 四、多元函数微分学 1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分, 一阶微分形式不变性, 方向导数与梯度, 高阶偏导数, 混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与 Taylor 公式. 2. 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组) 求导方法、反函数组与坐标变换. 3. 几何应用( 平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线). 4. 极值问题(必要条件与充分条件) ,条件极值与 Lagrange 乘数法. 五、一元函数积分学 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法( 直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分: (cos , sin ) R x x dx ?型, 2 ( , ) R x ax bx c