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函数单调性的判定方法

对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：
定义法
首先我们给出单调函数的定义。一可总结如下几个结论：
⑴．与 +单调性相同。（为常数）
⑵．当时，与具有相同的单调性；当时， 与具有相反的单调性。
⑶．当恒不等于零时，与具有相反的单调性。
⑷．当、在上都是增（减）函数时，则＋在上是增（减）函
数。
⑸．当、在上都是增（减）函数且两者都恒大于0 时，在上
是增（减）函数；当、在上都是增（减）函数且两者都恒小于
0 时，
在上是减（增）函数。
⑹．设 ,为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义
域上也是严格增（减）函数。
我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下几个例子：
例 。
解 :函数的定义域为，由简单函数的单调性知在此定义域内
均为增函数，因为 ,由性质⑸可得也是增函数；由单调函数的性质⑷知为增函数，再由性质⑴知函数 +5 在为单调递增函数。
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例 ，判断在其定义域上的单调性。解: 函数的定义域为 .
先判断在内的单调性，由题可把转化为，又故由性质⑶可得为减函数；由性质⑵可得为减函数；
再由性质⑴可得在内是减函数。
同理可判断在内也是减函数。故函数在内是减函数。
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性， 因此首先把函数等价
地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有
些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数的图像在
区间上从左往右逐渐上升则函数在区间上是增函数； 若函数图像在区间上从左往右逐渐下降则函
数在区间上是减函数。 、
例 5. 如图 1-1 是定义在闭区间 [-5,5] 上的函数的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数的单调区间有
[-5,-2 ），[-2,1 ）， [1,3 ）， [3,5） .其
中函数在区间 [-5,-2 ），[1,3 ）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数在区间
[-5,-2 ）， [1,3 ）为减
函数；函数在区间 [-2,1 ）， [3,5] 上的图像是从往右逐渐上升的，则函数在区间
[-2,1 ）， [3,5] 上是增
函数。
例 ； ；在 [-3,3] 上的单调性。
分析：观察三个函数，易见，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出和的图像，再利
用物理学上波的叠加就可以大致作出的图像，最后利用图像判断函数的单调性。
解 :作图像 1-2 如下所示：由以上函数图像得知函数在闭区间 [-3,3]
上是单调增函数； 在闭区间 [-3,3] 上是单调增函数； 利用物理上波的叠加可以直接大