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函数的单调性
一，函数的单调性的概念
１，概念：一般地，设函数
y f ( x) 的定义域为Ａ，区间 I A ．
如果对于区间Ｉ内的任意两个值
x1 ， x2 ，当 x1
1
，也不能观察出单调区间，只有用定义法来求其单调区间．
y
x
1
x (x 0) 的单调区间．
例７． 求
注：其中用到了＂相等分界法＂．
３，单调区间的间断点的取值有以下几种方式：
（１）使分母为零的自变量的取值．
（２）使绝对值号内的式子为零的自变量的取值．
（３）二次函数的对称轴．
（４）定义法中 x1 与 x2 相等时的取值（相等分界法） ．
六，函数的单调性的可逆性
函数的单调性具有可逆性，
即 f ( x) 在区间Ｄ上单调递增， 则 x1, x2
1
2
x2 ．类似地，若 f ( x)
D 且 f (x )
f (x ) 时，有 x1
在区间Ｄ上单调递减，则 x1, x2
D 且 f (x1)
f (x2) 时，有 x1 x2 ．
利用函数的单调性的可逆性，可以脱去某些函数记号，有可以解某些不等式．
例８． 解不等式
(x2 5x)3( x 5)3
．
例９． 已知函数
f (x) 在Ｒ上单调递增，且满足 f ( x)
f (x) ，若 x
y 0 ，则 f ( x)
f ( y) 的符号是否确定？反过来
若 f ( x) f ( y)
0，则 x y 是否一定大于零？
例１０． 若 f ( x) 是定义在 (0,
) 上的减函数，且对一切
a, b
(0,
)
f ( a )
f ( a ) f (b )
，都有b
．
（１）求 f (1)的值；（２）若 f (4) 1 ，解不等式 f (x
6)
f ( 1 )
2 。
x
．
七，函数单调性的应用
利用函数的单调性可解决有关方程，不等式，值域等问题．
例１１．（１）解方程 (x2 x 1)5 x5 4x2 8x 4 0 ．
y
x 2
1
(2)
x
2 的值域．
求函数
(3)
解不等式 (x2
2)3
x3
2x2
2x 4 0
八，抽象函数单调性的判断
没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，解法主要是采用定义法．
f ( x )
1
0
f ( x) c （ c 为常数）在区间
[ a, b] 上是减
例１２． 已知函数
f ( x) 的定义域为Ｒ，且满足
f ( x )，且 g( x)