8函数的单调性.doc

第二部分　高中数学新课程创新教学设计案例
8 函数的单调性
教材分析
函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联络在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有∞)上、y＝x2在（０,＋∞)上的图像由左向右都是上升的;y＝－x＋2在(－∞，＋∞）上、y＝x2在(－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升"或“下降”反映了函数的一个根本性质—-—单调性．那么，如何描绘函数图像“上升"或“下降”这个图像特征呢？
以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例,图像由左向右下降,意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小"，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5,x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f(x2），但是这种量化并不准确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以,在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f(x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间(－∞，0）上是减函数．
注意:在这里,要提示学生如何由直观图像的变化规律,转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出详细数值，进展引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．
2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的根底上，老师明晰——-抽象概括
设函数f(x）的定义域为I：
假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时,都有f（x1）＜f（x2)，那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8—2(1）］．
假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8—2(2）]．
假设函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的)单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）定义在R上的函数f（x)，满足f（2)＞f（1)，能否判断函数f（x）在R是增函数？
(2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞,0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．
（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间,和在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
强调:定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量;函数的单调性是相对于某一区间而言的．
三、解释应用
［例　题]
1。 证明函数f（x)＝2x＋1，在（－∞，＋∞)是增函数．
注:要标准解题格式．
2。 证明函数f（x)＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞)上都是减函数．
考虑:能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞,0）∪（0，＋∞）上是减函数?
3. 设函数y＝f(x）在区间D上保号(恒正或恒负）,且f(x）在区间D上为增函数,求证：f（x）＝在区间D上为减函数．
证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，
∵f(x）在区间D上保号,∴f(x1)f（x2)＞0．
又f（x)在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞