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21 第四讲函数(一) 函数是高中数学的重点, 也固然是数学竞赛的必考内容。为了突出函数的基础地位和工具作用,竞赛中的函数题往往在一试当中出现,同时也易与其他知识产生综合。我们知道, 函数的表示方法有解析式法、图象法、列表法, 经常用到的是解析式法和图象法。解析式可以从数的角度反映函数的性质,而图象则能给我们在函数的定义域、值域、单调性等方面的一些直观的感知。将二者有机的结合在一起往往能为我们提供非常有价值的解题启发,这就是我们经常提到的一种十分重要的解题思想:数形结合思想。一、基本运算: 例一( 1998 年全国联赛一试)若 1, 1 a b ? ?,且?? lg lg lg , a b a b ? ??,则???? lg 1 lg 1 a b ? ??的值(A )等于 lg2 ;(B )等于 1;(C )等于 0;(D )不是与 a 、b 无关的常数分析:所求等式中含有两个未知数 a 、b ,于是希望能减少未知数个数。解:由题意有: a b ab ? ?,则 1 aba ??,于是: ?????????? lg 1 lg 1 lg 1 1 lg 1 lg1 0 1 a a b a a a a ? ?? ?? ??????????? ?? ??? ?? ?例二( 1996 年全国联赛一试) 集合 11 1 log 10 , 2 x x x N ? ?? ?? ? ???? ?? ?? ?的真子集的个数是解:原不等式等价于: 1 log 10 1 2 x ? ?, 即: 1 1 1 2 lg x ? ?∴ 1 lg 2 x ? ?即: 10 100 x ? ?故其真子集的个数为 90 2 1 ?。例三( 2001 年全国联赛一试)不等式 12 1 3 2 log 2 x ? ?的解集为解:原不等式等价于: 12 1 3 2 log 2 x ? ?;①或: 12 1 3 2 log 2 x ? ??② 22 由①得: 12 1 1 log 2 x ??, 即: 2 1 1 log 2 x ?解得: 0 1 x ? ?,或 4x?由②得: 12 1 7 log 2 x ??, 即: 2 1 7 log 2 x ?解得: 72 1 2 x ? ?∴原不等式的解集为: 72 { 0 1,1 2 , 4} x x x x ? ????例四( 1995 年全国联赛一试) 用?? x 表示不大于实数 x 的最大整数。方程?? 2 lg lg 2 0 x x ? ??的实根的个数是分析:高斯函数?? x 是高中数学竞赛的规定内容之一,有关高斯函