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代数学引论答案（第一章）

1. 假如群G中,每个元素a都适合a2=e, 那么G为交换群.
证明: [方法1] 对随意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)，且阶数大于2，那么b≠b-1,而b-，幺元e的阶数为1，留意到G的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，(切确的说阶数为2的元素有奇数个). [探讨]










[1] 设G是一2n阶交换群，？ 提示：采纳反证法，并留意用Lagrange定理.
[2] 群G中，任取aG，有an=e，那么G必须是有限群吗？假如不是请举出反例，假设是有限群，阶数和n有什么关系？
7. 设H，K为群G的子群，HK为G的一子群当且仅当HK=KH.
证明：(Ⅰ)设HK=KH，,b∈HK,可令a=h1k1，b=h2k2这里hi∈H，ki∈K，i=1,2. 那么ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2 ---------------(1)
因HK=KH，故此k1h2= h3k3 ----------------------(2)。这里h3∈H，k3∈K. 由(1),(2)知，ab= h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2)∈HK. ------------(3) 另外，a-1= (h1k1)-1= 由(3),(4)知HK是G的子群.
(Ⅱ) HK为G的一子群,下面证明HK=KH.
假设a∈HK,易知a-1∈KH. HK是子群,任取a∈HK，有a-1∈HK,因此(a-1)-1=a∈KH，那么有HK KH. 假设a∈KH,易知a-1∈HK. HK是子群,任取a∈KH，有a-1∈HK,因此(a-1)-1=a∈HK，那么有KH HK. 综上知，HK=KH.
2
∈KH=HK. ----------------- (4)
8. 设M,： (i) MN=NM;
(ii) MN是G的一个正规子群；
(iii) 假如MN={e}，那么MN/N与M同构.










证明：(i)[方法1]任取a∈MN,可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M为G的正规子群，故n-1mn∈M. 所以a=n(n-1mn) ∈NM，故此MN?NM. 同样的方法可以证明NM?MN. 因此MN=NM.
[方法2]任取a，b∈MN，可设a=m1n1(m1∈M，n1∈N)，b=m2n2(m2∈M，n2∈N).下面只要证明MN为G的一个子群即可(由第20题可知)，也就是说只要证明ab-1∈MN即可.
因为ab-1=m1n1n2-1m2-1= [m1(n1n2-1m2-1n2n1-1)](n1n2-1)， 而M为G的正规子群，故n1n2-1m2-1n2n1-1∈M，所以ab-1∈MN.
(ii) 由(i)∈MN, 可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M和N为G的正规子群，对随意g∈G，有g-1ag= g-1mng= (g-1mg)(g-1ng) ∈.
(iii) 易知N为MN的正规子群，因此MN/N是一个群. 因为MN={e}，对任何mi≠mj∈M, 有miN≠mjN[注]. 作一个MN/N到M的映射f[注]，f: MN/N→M，mNm， 那么该映射明显是一一对应，另外f(miNmjN)= f(mimjN)= mimj， 因此f为MN/N到M的同构映射，即MN/N与M同构. [探讨]
1. 只要M和N的一个是正规子群，那么MN就是子群，或者说成立MN=(i)的证明方法2可知. 2. M和N中有一个不是正规子群时MN必须不是正规子群. [留意]
1MN={e}，对任何mi≠mj∈M, 有miN≠mjN.
证明：假设存在mi≠mj∈M, 有miN=mjN，那么mimj-1∈