第三节等比数列.ppt

第三节等比数列基础梳理 1. 等比数列的定义一般地,如果一个数列_____________________ _____________________________ , 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的______ ,通常用字母____ 表示. 从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数公比 q2. 等比数列的通项公式一般地,对于等比数列{a n}的第 n项a n,有公式 a n= ______________ ,即等比数列{a n}的通项公式,其中 a 1为首项, q为公比. a 1q n-13. 等比中项如果____________ ______ ,那么 G叫做 a与b的________ . a,G,b成等比数列等比中项 4. 等比数列的常用性质(1) 通项公式的推广: a n=a m·________( n,m∈N *). (2) 若{a n}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m, n∈N *),则____________________ . q n-ma k·a l=a m·a n(3) 若{a n},{b n}(项数相同)是等比数列,则{λa n}, 1 na ? ?? ?? ?,{a n 2},{a n·b n}, nnab ? ?? ?? ?(b n≠0)仍是等比数列. 5. 等比数列的前 n项和公式等比数列{a n}的公比为 q(q≠0),其前 n项和为 S n,当 q =1时, S n=______ ;当 q≠1时, S n=________ ____ , 即S n=或S n=. na 1a 1+a 1q+…+a 1q n-1 1 (1 ) 1 n a q q ?? 11 n a a q q ?? 6. 等比数列前 n项和的性质等比数列{a n}的前 n项和为 S n,则 S n,S 2n-S n,S 3n-S 2n(均不为零)仍成等比数列. 基础达标 1. (2010 ·江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学高三调研测试)设等比数列{a n} 的公比 q= 1,2前n项和为 S n,则 44Sa=________. 解析: 414 4 3 3 41 (1 ) 11111615. 1 1 (1 ) 2 8 a q Sqqa a q q q ????? ????? 2. (2011 ·金陵中学月考)等差数列{a n}的公差 d≠0,且 2a 3 -a 7 2+2a 11=0,数列{b n}是等比数列,且 b 7=a 7,则 b 6b 8= ________. 解析:由等差数列的性质得 a 3+a 11=2a 7,结合已知 2a 3-a 7 2+ 2a 11=0得4a 7-a 7 2=0,解得 a 7=4(a 7=0舍去).再由等比数列的性质知 b 6b 8=b 7 2,而 b 7=a 7,故 b 6b 8=16. 3. ( 必修 5P 52习题 7改编)设 3 则a+3b的最大值为________ . b是1-a和1+a的等比中项, 解析:方法一:由条件知 3b 2=1-a 2,即 3b 2+a 2=1, 设x= 3b,y=a,则 x 2+y 2=1, 令z=a+3b=y+ 3x,则原题可转化为单位圆与直线有公共点, ∴ 1, 2. 1 3 zz ? ???方法二:由条件知 3b 2+a 2=1, 设a=cos α,b=sin α, 则a+3b=cos α+sin α=2cos ≤2. 3 333 ??? ??? ?? ? 4. ( 必修 5P 59习题 7改编)设{a n}为公比 q>1的等比数列,若 a 2004 和a 2 005 是方程 4x 2-8x+3=0的两根,则 a 2007 +a 2008 =______. 解析:由题意得 a 2 004 +a 2 005 =2,a 2 004 ·a 2 005 =又∵q>1, ∴a 2004 =,a 2005 =,q=3, 3,4 12 32∴a 2 007 +a 2 008 =(a 2 004 +a 2 005 )q 3=54. 5. (2010 ·北京)已知{a n}为等差数列,且 a 3=- 6,a 6=0. (1) 求{a n}的通项公式; (2) 若等比数列{b n}满足 b 1=- 8,b 2=a 1+a 2+a 3,求{b n} 的前 : (1) 设等差数列{a n}的公差为 d, 因为 a 3=- 6,a 6=0, 所以 11 2 6, 5 0, a d a d ? ????? ??解得 1 10