数值分析分段低次插值.ppt

数值分析分段低次插值
第1页，共14页，编辑于2022年，星期六
一、 多项式插值的问题
思考：
对函数
与
求插值多项式，是否多项式的次数越高逼近精度越好？
答案：否！
对
次数越高逼近精度越好
对
次数数值分析分段低次插值
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一、 多项式插值的问题
思考：
对函数
与
求插值多项式，是否多项式的次数越高逼近精度越好？
答案：否！
对
次数越高逼近精度越好
对
次数越高逼近精度越差(龙格现象)
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如果在区间[-5，5]上取11个等距节点
下图对
由拉格朗日插值公式可得到f(x)的10次插值多项式P10(x)
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从图中可以看出，P10(x)仅在区间中部能较好地逼近函数f(x)，在其它部位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差。可以证明：当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，这一现象称为龙格(Runge)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。
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怎么办?
为提高插值精度
增加节点
多项式次数增加
龙格现象
拟合效果变差
矛盾！
解决办法：采用分段低次插值
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二、 分段线性插值

设在[a,b]上给出插值条件：
xi
x0
x1
…
xn
f(xi)
f0
f1
…
fn
求一个折线插值函数Ih(x)满足
1°Ih(x)是[a,b]上的连续函数
2°Ih(xk)=fk，k = 0,1,…,n
3°Ih(x)在每个小区间[xk,xk+1]上是线性函数
则称Ih(x)为分段线性插值函数
可否省略？
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2. 表示方法
分段表示
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在[-5,5]区间上取5个等分点为插值节点。
解：
分段表示
……
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几点说明：
2°可以预见，但n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。
1°分段线性插值多项式是分段函数；
3°Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。
下面的分段三次Hermite插值将克服这一缺点。
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三、 分段三次Hermite插值

设在[a,b]上给出插值条件：
xi
x0
x1
…
xn
f(xi)
f0
f1
…
…
fn
求一个分段插值函数Ih(x)满足
2°Ih(x)在每个小区间[xk,xk+1]上是三次多项式
则称Ih(x)为分段三次Hermite插值多项式
1°
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分段表示

优点：
1°n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。
2°因为一阶导数连续，故光滑性较好。
缺点：
需提供插值点处的一阶导数，这在实际工作中较困难。
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用较少的
导数条件
构造较光滑的
分段多项式？
样条函数法是解决
这一问题的途径！
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作业
习题17，19
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