条件概率及全概率公式.pdf

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0/ 100=0. 2;
P( B| A)= P( AB)/ P( A) =12/ 80=0. 15;
P( A| B)= P( AB)/ P( B)= 12/ 20=0. 6 ;
P( AB)= 12/ 100=0. 12; P( C)= 40/ 100=0. 4;
P( C| A)= P( AC)/ P( A)= 32/ 80=0. 4;
P( AB ) 12
P(A | B) = = = ;
P( B ) 80
P( AC)= 32/ 100=0. 32.
例 8 个乒乓球中有 5 个新的， 3 个旧的 . 第一次比赛时 , 同时取出 2 个, 用完后放回
去; 第二次比赛时又取出 2 个球 , 求第一次取到 1 个新球的条件下 , 第二次取到 2 个新球的
概率 .
解� 设事件 A=“第一次取到 1 个新球” ;
事件 B=“第二次取到 2 个新球” .
由于第一次比赛后 , 球被放回去 , 因此在 A 已发生的条件下 , 再取 2 个球时 , 总球数
仍为 8. 但是 , 因第一次比赛所用的一个新球已变成旧球，其新旧比例已变化为 : 新球 4
个, 旧球 4 个, 所以所求的概率为 :
2
C 4 3
P(B | A) = 2 = .
C 8 14
由条件概率 , 我们可以得到概率的乘法定理及两个事件的独立性 .
概率的乘法定理�
由前面的条件概率的定义公式 , 可得到下面的定理 .
概率的乘法定理 . 设 A﹑ B 为随机试验 E 中的两个事件 , 且 P( B ) >0, 则有
P( AB ) =P( A | B) P( B).
197这个公式称为概率的乘法公式 . 同样地 , 概率的乘法公式还有另一种形式 : 若 P( A)> 0,
P( AB ) =P( B | A ) P( A ).
例 . 设在一盒子中装有 4 个蓝色球和 6 个红色球 , 取球两次 , 一次取 1 个, 取后不放回 ,
问两次都取到红球的概率是多少 ?
解� 设事件 A=“第一次取到红球” ,
事件 B=“第二次取到红球”�
∵�P( A)= 6/ 10,
P( B| A)= 5/ 9,
因此� P( AB)= P( B| A) P( A)= 1/ 3.
我们还可以将概率的乘法公式推广到 3 个事件的情形 :
P( A 1A2A3 )= P( A 1) P( A 2| A1) P( A 3| A1 A2).
我们已经学习了条件概率和概率的乘法定理 , 由此我们可以得到下面的全概率公式�
全概率公式�
前面我们学习了条件概率和概率乘法定理，下面我们介绍一个重要的公式