用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程
带入方程得到一个简单的二阶常微分方程:
解这个常微分方程得到其通解为：，
进而得到方程(1)的通解为：
(2)
继续进行变
用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程
带入方程得到一个简单的二阶常微分方程:
解这个常微分方程得到其通解为：，
进而得到方程(1)的通解为：
(2)
继续进行变量分离:,将形式解带入方程(2)整理，分离并令其中常数为得到:
及
对该式中关于的方程，由的几何意义，其有自然边界条件，所以求解的方程:
求解该方程得到:。
将代入式中的第二个式子，得到关于的微分方程，作变量代换得到阶连带勒让德方程:，其的特例叫勒让德方程。
下面对阶勒让德方程考虑:
求解关于的二阶常微分方程:
在的邻域上求解上述方程，采用常点邻域上级数法求解。
令该方程在的邻域上的级数解为:
将其代入到方程式中，得到的递推关系:从而得到阶勒让德方程的解:其中为:
上述中在是某个奇数时止到，从而退化为多项式，在是某个偶数时止到，从而退化
为多项式。
对以上两种退化多项式的可能性，取适当使每种情况下的最高次幂的系数为:
从而得到阶勒让德方程的特解 阶勒让德多项式:
下面对阶连带勒让德方程考虑:
为方便求解先作函数变换:
阶连带勒让德方程化为的微分方程:
把勒让德方程求次导整理得到:
从而看出，勒让德方程的的次导数是上述方程的解，从而可得出连带勒让德方程的解:
故拉普拉斯
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