例说求极限的几种方法(图文).doc

例说求极限的几种方法(图文).doc例说求极限的几种方法( 图文) 论文导读: 四则运算法则指: 如果两个函数都有极限, 那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商( 作为除数的函数的极限不能为零) 。法则本身很简单,但有些函数求极限往往不能直接利用法则,需要先对函数做某些恒等变形或化简,常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。利用单调有界准则求极限, 首先讨论数列的单调性和有界性, 再解方程可求出极限。总之, 极限的求法很多, 但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法, 则可以化难为易, 使问题得到圆满解决,并可提高解题效率。关键词:数列,函数,极限,求法极限思想贯穿于整个微积分的课程之中,掌握好求极限的方法是十分必要的。由于极限的求法众多, 且灵活性强, 因此有必要对极限的求法加以归纳总结, 本文就师范数学微积分的内容总结了如下 12 种方法: 一、利用极限四则运算法则求极限四则运算法则指:如果两个函数都有极限,那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商( 作为除数的函数的极限不能为零)。法则本身很简单, 但有些函数求极限往往不能直接利用法则, 需要先对函数做某些恒等变形或化简,常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。例 1. 解:原式=== =- 例2. 解:原式= 二、利用两个重要极限求极限两个重要极限为: ,或它们的扩展形式为: ,或, 利用两个重要极限求极限, 往往需要作适当的变换, 将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式,再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则求极限。例3. 解:原式=。例4. 解:原式= 。例5. 解 : 原式= 三、利用函数的连续性求极限: 由函数 f(x) 在 x0 点连续定义知,, 由于初等函数在定义区间内处处连续, 所以求初等函数在定义区间内任意点处的极限值, 只要求其函数在该点处的函数值, 因此可直接代入计算。例6. 解:因为是函数的一个连续点, 所以原式=。例7. 解:原式== 四、利用导数的定义求极限若函数 f(x) 在 x0 点可导,则, 利用这个定义, 若所求极限的函数具有函数导数的定义式或可化为导数的定义式,则可利用导数的定义求极限。例8. 已知存在,求解:原式= = =a[ =2a 五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。一般要记住: 。论文格式。例9 .求解: 因为, 是有界函数所以=0 六、利用等价无穷小代换求极限在求两个函数的积或商的极限时,若能利用三角公式或代数公式进行变形,最后变成两个极限为零的因式之比时(两个无穷小之比) ,则可以用它们的等价无穷小来代替,求出极限。等价无穷小主要有:~~~~~~ () ,当前面每个函数中的自变量 x 换成时( ) ,仍有上面的等价关系成立。例 10. 解: ~,~, ∴ 原式=。例 11. 解:原式= 七、利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限,首先讨论数列的单调性和有界性,再解方程可求出极限。例 12. 已知,求解:易证:数列单调递增,且有界( 0<