定积分应用题附答案.doc

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《定积分的应用》复习题
一．填空：
1．曲线所围成的平面图形的面积为A = =b-a______
2. ________
二．计算题：
1．求由抛物线 y2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y，解方程组
得
即抛物线与直线的交点为（，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－y）-y2 ］,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素
dA = [(１－y)- y2 ]dy
(3)所求图形面积 A = [（1- y）-y2 ]dy = [y - y2 – y]=
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2．求抛物线 y = - x2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x2 + 4x – 3 得 。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ ，3 ）。
故 面积A =
3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（）与横轴所围成的图形的面积。
解：
4． 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos 及 r = 1 + cos
解：两曲线的交点由
故 A =
=
5．计算由摆线 x = a (t – sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱（），直线y = 0 所围成的图形分别绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。
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解：
=
6．求由x2 + y 2 = 2和y = x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。
解：（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组：{ ，
得圆与抛物线的两个交点为{，{ ，所以积分区间为 [-1，1]。
（2）在区间[-1，1]上任取一小区间[x, x+dx]，与它对应的薄片体积近似于
[（2 - x2）-