定积分应用题附答案.docx

《定积分的应用》复习题
.填空:
.曲线y lnx,y ln a, y In b（0 a b）及y轴所围成的平面图形的面积
ln b
In a
eydy=b-a
.曲线y x2和y JX所围成的平面图形的面积是
= 2x与直线2x + y - 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y,解方程组
y2 2x /曰 x 1/2 x2 2
行 ,
y 2x 2 乂 1 y2 2
r 1 一 ………，… 一
即抛物线与直线的交点为（—，1）和（2 , - 2 ）. 故所求图形在直线y = 1和
2
y = - 2 之间，即积分区间为［—2, 1人
（2）在区间［―2, 1］上，任取一小区间为［y , y + dy ］，对应的窄条面积
近似于高为［（1 — 1y） -1y2］,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素
2 2
dA =[(
1 2y
]dy
1y2 -1y3]
6
⑶所求图形面积A =
12 [(1- 1y)- 1y2 ]dy = [y -
2 2
= - x 2 + 4x - 3 及其在点（0, - 3）和（3, 0）处的切线所围
成的图形的面积。
解：由 y = - x 2 + 4x - 3 得 y' 2x 4, y'（0） 4, y'（3） 2。
抛物线在点（0, - 3）处的切线方程为y = 4x - 3 ;在点（3, 0）处的切线方程为
y = - 2x + 6 ;两切线的交点坐标为 （0,3 ）。
2
故面积A =
3
o2[(4x 3) (x2 4x 3)]dx
3 2 9
3[( 2x 6) (x2 4x 3)]dx —
= a （t
—sint) , y = a( 1- cost)
的一拱（0 t 2 ）与
2 4
横轴所围成的图形的面积。
2 a 2
解：A ° y(x)dx ° a(1 cost) a(1 cost)dt
2 2 1 cos2t 2
a (1 2cost )dt 3 a
0 2
.求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积： r = 3 cos 及r = 1 + cos
解：两曲线的交点由
r 3cos
r 1 cos
,解得 3及
3 r
2
3
3 r
2
-1 O
03 2(1 cos ) d
二 1 一 9
2 - (3cos ) d
32
5
4
1 cos2 9 -
= 3(1 2cos )d - 2(1 cos2 )d
0 2 ， 2 1 ，
.计算由摆线 x = a (t - sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱(0 t 2 ),
直线y = 0所围成的图形分别绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。
2 a 2 2 2 2
解：Vx 0 y (x)dx ° a (1 cost) a(1 cost)dt
2
a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 a 0
2ao 2a
Vy 0 x2(y)dy 0 x1 (y)dy
a2(t sint)2 asintdt a2(t si