离散数学1212离散概率.ppt

第12章 离散概率
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第12章 离散概率
随机事件与概率、事件的运算
条件概率与独立性
离散型随机变量
概率母函数
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随机事件与概率、事件的 设A, B是两个随机事件且P(A)>0, 称
P(B|A)= P(AB)/P(A)
为在事件A发生的条件下事件B的条件概率.
4º 乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A), 其中P(A)>0.
更一般地, 设P(A1A2…An1)>0, n≥2, 则
P(A1A2…An)=P(A1A2…An1)P(An|A1A2…An1)
=P(A1A2…An2)P(An1|A1A2…An2)P(An|A1A2…An1)
=…
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An1).
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全概率公式
设样本空间 , 如果事件B1,B2,…,Bn两两互不相容且
=  ,则称B1,B2,…,Bn是样本空间 的一个划分.
(全概率公式) 设B1,B2,…,Bn是样本空间的一个
划分且P(Bi)>0, i=1,2,…,n, A是任一随机事件, 则
证 且(ABi)(ABj)= (i≠j), 故
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实例
例1 某系统有5条通信线路. 据统计资料系统接收的报文
来自这5条线路的百分比分别为20%, 30%, 10%, 15%和
25%, , , ,
. 任取一个报文, 求其长度超过100个字母的概率.
解 记A:超过100个字母, Bi:来自第i条线路, i=1,2,…,5.
P(B1)=, P(B2)=, P(B3)=, P(B4)=, P(B5)=,
P(A|B1)=, P(A|B2)=, P(A|B3)=, P(A|B4)=,
P(A|B5)=,
由全概率公式
P(A)=×+×+×+×+×
=.
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实例
例2 袋中有6个红球和4个绿球, 从袋中取两次, 每次任取
一个球. 有两种取法: , .
(1) 求第一次取到红球的概率.
(2) 求第二次取到红球的概率.
(3) 已知第一次取到红球, 求第二次取到红球的概率.
解 设A:第一次取到红球, B:第二次取到红球.
(1) 求 (2) 求 (3) 求
P(A)
P(B)
P(B|A)
a. 放回抽样.
P(A)=P(B)=P(B|A)=6/10.
b. 不放回抽样.
P(A)=6/10, P(B|A)=5/9,
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独立性
放回抽样中P(B)=P(B|A), 不放回抽样中 P(B)≠P(B|A).
当P(A)>0时, P(B)=P(B|A)当且仅当P(AB)=P(A)P(B).
如果P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A和B相互独立.
例3 两战士打靶, , .
两人射击同一个目标, 各打一枪. 求目标被击中的概率.
解 设A:甲击中目标, B:乙击中目标. 可以假设A与B相互独
立. 于是,
P(A∪B)= P(A)+P(B)P(A)P(B)
=+×=.
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独立性(续)
设n个事件A1, A2,…,An, n≥3. 如果对任意的正整
数k≤n和1≤i1<i2<…<ik≤n,
则称这n个事件相互独立.
(1)若A与B相互独立, 则A与 , 与B, 与 都相互独立.
(2)设A1, A2,…,An相互独立, 则将其中的任意若干个事件
换成它们的逆事件后也相互独立.
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伯努利概型与二项概率公式
伯努利概型:在相同的条件下重复进行试验, 每次试验的
结果只有两个: 事件A发生或不发生, 且各次试验是相互
独立的.
(二项概率公式) 设在伯努利概型中, 每次试验事
件A发生的概率为p(0<p<1), 则在n次试验中A恰好发生k
(0≤k≤n