排列组合基础知识及解题技巧.docx

排列组合基础知识及习题分析
在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！
C3= (5X4X3)/ (3X2X1)C；= (6X5)/ (2X1)
通过这 2 个例子 看出
C
n
m 公式 是种子数 M 开始与自身连【解析】 跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4 种选择。 彼此之间选择没有关系 不够成分类
关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4 种，再安排第2 个旅客是 4 种选择。知道
最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即4X4X4= 4A3
8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 【解析】分步来做
第一步：我们先选出 3本书 即多少种可能性 C8取3 = 56种
第二步：分配给 3个同学。P33 = 6种
这 里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3 种书选择，选择完成后，第2
个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3X2X1这是分步选择符合乘法
原则。最常见的例子就是1 ， 2， 3， 4 四个数字可以组成多少4 位数？ 也是满足这样的分步原
则。 用 P 来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。
所以该题结果是 56X6= 336
3 、 七个同学排成一横排照相 .
（ 1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（ 3600 ） 【解析】
这个题目我们分2 步完成
第一步：先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1 = 5
第二步： 剩下的6个人即满足P原则P66 = 720
所以总数是720X 5= 3600
（ 2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（ 1440）
【解析】第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一 C2取1 = 2
第二步：剩下的 6个人?t足P原则P66 = 720
则总数是 720X2= 1440
3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（ 3120 ） 【解析】特殊情况先安排特殊
第一种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况
去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1 = 4,剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2 人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足 P原则 即5XP55= 5X 120= 600总数 是 4X600= 2400
第2种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置则 剩下的6个位置满足P66= 720
因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即2400 + 720=3120
（ 4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（ 1440 ）
【解析】相邻用捆绑原则 2 人变一人， 7 个位置变成6 个位置，即分步讨论
第1: 选位置C6取1 = 6
第2:选出来的2个位置对甲乙在排即P22=2则安排甲乙符合情况的种数是2X6=12
剩下的5个人即满足P55的规律=120则 最后结果是120X12= 1440
（ 5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）
【解析】
这个题目非常好, 无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我
们不考虑左右问题则总数是P77= 5040 ,根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是
5040+ 2= 2520
4 、用数字 0， 1 ， 2 ， 3， 4 ， 5 组成没有重复数字的数
（ 1）能组成多少个四位数？ （ 300 ） 【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排 0 。 则只有 5 种可能性
接下来3个位置满足 P53原则=5X4X3= 60即总数是 60X5= 300
2）能组成多少个自然数？（ 1631 ） 【解析】自然数是从个位数开始所有情况
分情况
1位数：C6取1=6
位数：C5 取 2XP22+ C5取 1XP11= 25
位数：C5 取 3XP33+ C5取 2XP22X 2= 100
位数：C5 取 4XP44+ C5取 3XP33X 3= 300
位数：C5 取 5XP55+ C5 取 4XP44X 4= 600
位数： 5XP55= 5X 120= 600
总数是 1631
这里解释一下计算方式 比如说2位数：C5取2X P22+ C5取1 X P11= 25
先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2X P22还有一种情况是从不是0的5个数字中选
一个和0搭配成2位数 即C5取1XP11因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能
（ 3）能组成多少个六位奇数？ （ 288 ）
【解析】高位不能为0个位为奇数1, 3, 5则 先考虑低位，再考虑高位 即3X4XP