概率论与数理统计公式整理.docx

第1章随机事件及其概率
（1）排列 组合公式
Pmnm!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
（m n）!
Cm —m— 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!（m n）!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法2…4-1)>0 ,则有
P(A1A2 …An)P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)……P(An| A1A2...
An 1)。
(14)独立 性
①两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立，且P(A) 0,则有
P(B|A) 四 P(A)P(B) P(B)
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立。
必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。
?与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A B C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概 公式
设事件B1, B2, ,Bn满足
1 B1, B2,，BnWm；相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n)， n
ABi
2i 1
则有
P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A | Bn)。
(16)贝叶 斯公式
设事件B1，B2,…，Bn及A满足
。 B1，B2，…，BnWW^相容，P(Bi)>0，i 1，2，…，n， n
ABi
i 1P(A) 0
则
mP(Bi)P(A/ Bi)
P(Bi / A)n, i=1 , 2,…n。
P(Bj)P(A/Bj) j 1 此公式即为贝叶斯公式。
P(BJ,(i 1 , 2,…，n),通常叫先验概率。P(Bj/A),(i 1,2,, n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。
(17)伯努 利概型
我们作了 n次试验，且满足
每次试验只用两种可能结果，A发生或A不发生；
n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A发生与
否是互/、影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1 p q，用Pn(k)表
示n重伯努利试验中A出现k(0 k n)次的概率，
「八、_kknk__
Pn(k) Cnp q , k0,1,2, ,no
第二章随机变量及其分布
(i)离散 型随机变 量的分布 律
设离散型随机变量 X的可能取值为 X(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为
P(X=Xk)=p k, k=1,2,…，
则称上式为窗放型随机变重X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
式给出：
X। x1,x2,,xk,
P(Xxk) p1, p2,, pk,o
显然分布律应满足卜列条件：
pk 1
(1) pk 0, k 1,2,,(2) k1o
(2)连续 型随机变 量的分布 密度
设F (x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数x ,有
x
F(x)f(x)dx
则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。
密度函数具有卜面4个性质：
f(x) °。
f(x)dx 1
o
(3)近攵 与连续型 随机变量 的关系
P(X x) P(x X x dx) f(x)dx
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk) pk在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布 函数
设X为随机变量，x是任意实数，则函数
F(x) P(X x)
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X落入区间(a,b］的概率。分布
函数F(x)表示随机变量落入区间(-8, x］内的概率。
分布函数具有如下性质：
。0 F(x) 1,x；
F (x)是单调/、减的函数，即 xi x2时，有 F(xi)F(x2)；
F( ) lim F(x) 0,F() lim F(x) 1;
xx
。 F(x 0) F(x),即F(x)是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0)。
对于离散型随机变量，F(x)pk ；
xk x
x
对于连续型随机变量，F(x)