圆心角、弧、弦、圆周角.doc

圆心角、弧、弦、圆周角
学习要求：
　　1、理解并初步掌握弧、弦、圆心角的相互对应的关系，会证明两条弦等、两条弧等，两个圆心角等；
　　2、掌握圆周角定理及推论，能在圆中熟练地进行角的相互转化，从而通过解直角三角形或利用相似的
　 2、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F，
　　　　　　求证：∠FMC=∠AMD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：方法一：如图1连结AD.
　　　　　　　　　∵四边形ADCM是圆内接四边形
　　　　　　　　　∴∠FMC=∠ADC
　　　　　　　　　∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
　　　　　　　　　∴
　　　　　　　　　∴∠AMD=∠ADC
　　　　　　　　　∴∠FMC=∠AMD.
　　　　　方法二：如图2，连结MB
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　∵AB是⊙O的直径，
　　　　　　　　　∴∠FMB=∠AMB=90°
　　　　　　　　　∵弦CD⊥AB
　　　　　　　　　∴
　　　　　　　　　∴∠CMB=∠DMB
　　　　　　　　　∴∠FMC=∠AMD
　　【小结】1、在圆中，有直径的条件时，常常考虑用垂径定理或构造直径所对的圆周角；
　　　　　　2、在圆中，常常利用圆内接四边形的性质将圆外部的角转化为圆周角解决问题。
　　3、已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD.
　　（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE=3，ED=6，求AB的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）∵AB=BC
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∴∠ADB=∠CDB ， 即DB平分∠ADC.
　　　　（2）∵
　　　　　　 ∴∠BAE=∠ADB
　　　　　　 又∠ABE=∠DBA
　　　　　　 ∴△ABE∽△DBA
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∵BE=3，ED=6 ， ∴DB=9
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∴AB=
　　【小结】在圆中常常利用圆周角定理及它的推论来证明角相等，进而通过证明三角形相似来解决问题，沟通角之间关系的桥梁往往是同弧或等弧。
　　4、已知：BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，，BF和AD相交于E，求证：AE=BE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：方法一：如图1，连结OA、AB
　　　　　　　　　∵
　　　　　　　　　∴OA⊥BF
　　　　　　　　　∵AD⊥BC
　　　　　　　　　∴∠DAO+∠AEF=∠EBD+∠BED=90°
　　　　　　　　　∵∠AEF=∠BED
　　　　　　　　　∴∠DAO=∠EBD
　　　　　　　　　∵OA=OB
　　　　　　　　　∴∠BAO=∠ABO
　　　　　　　　　∴∠ABE=∠BAE
　　　　　　　　　∴AE=BE.
　　　　　方法二：如图2，延长AD交⊙O于H
　　　　　　　　　∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC
　　　　　　　　　∴
　　　　　　　　　∵
　　　　　　　　　∴
　　　　　　　　　∴∠ABE=∠BAE
　　　　　　　　　∴AE=BE.
　　　　　方法三：如图3，连结AC