大学物理：线性叠加原理.ppt

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回顾偏振态
若 表示两个偏振态，则任何线性叠加
在归一化后，都是一个物理上存在的偏振态
线性叠加原理
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线性叠加原理
一般地，若 和 是体系可能的状态，那：
分别表示动量有确定值的态和位置有确定值的态。
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状态的态矢量表示
算符：
任何物理量a对应于Hilbert空间一个线性厄米算符（矩阵）A。A作用在其任何一个本征态 上得到： ， 为对应的本征值。对物理系统观测物理量a将使系统的状态坍缩到算符A的一个本征态上。若坍缩到 ,上所观测到的a的量值就是 。反之，若发现a为某量值，则一定坍缩到具有此量值的本征态上。算符的所有本征态正交，归一，完备。
回顾能量测量与态坍缩过程。
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状态的态矢量表示
算符构造：
任何物理量a对应于Hilbert空间一个线性厄米算符（矩阵）A。A作用在其任何一个本征态 上得到： ， 为对应的本征值。可据此构造算符A：
。
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状态的态矢量表示
算符与测量：
物理量a对应于算符（矩阵）A。假定系统处于态 上。观测物理量a,系统坍缩到A的本征态 上的概率为： 。对于连续本征值情况，系统坍缩到A的本征态 上的概率密度为：
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状态的态矢量表示
平均值：
可以直接验证，与波函数表示等价。此式对任何态都对。是测量平均值用态矢量表示的公设。
证法：把态矢量以A的本征态为基础态展开！
问题：单次测量结果是不是平均值？
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状态的态矢量表示与测量
测量公设：
发现状态 是状态 的概率幅为 。
“发现”是指通过适当的测量而显示的测量结果。“适当的测量”是指任何一种测量，只要该测量的任何可能的测量结果都能明确断定系统是否坍缩到 态上。
回顾偏振测量！
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状态的态矢量表示与测量
测量公设：
发现状态 是状态 的概率幅为 。
态矢量
，
分别表示位置有确定值x的态和动量有确定值p的态。
对于任何态 ，发现它是位置有确定值的态 的概率密度幅为 。
此即在位置x发现粒子的概率幅。因此
态 的波函数为 。
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状态的态矢量表示与测量
态 的动量表象波函数为 。
类似的，
问：
的函数式？
的函数式？
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连续变化的基础态
已知位置波函数 ，态矢量是什么？
问：已知系统动量表象波函数，它的态矢量（以动量本征态展开）是什么？
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是算符（矩阵）
注意：
是复数！
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投影算符
其中
理解为态
对态
的投影幅，即发现粒子的处于第n个能级的概率幅。
对于态
单次测量发现其能量为 的概率
定义投影算符
概率为
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态矢量是Hilbert空间的向量。算符可认为是作用在Hilbert空间向量上的线性算符（矩阵）。算符的全部本征态构成空间的基础态。
态的演化方程为
若哈密顿量不含时
故，量子力学既被称为波动力学，又被称为矩阵力学。
演化方程
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状态的态矢量表示
注解：线性性
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状态的态矢量表示
注解：厄米性
任何物理量量值必须是实数。因此算符特征值必为实数。算符
必然是厄米的，即在转置复共轭操作（厄米操作）下不变。
思考题：如何以上述形式表示位置算符与动量算符？
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状态的态矢量表示
Hilbert空间的基础态选择并不唯一，可根据具体问题作适当选择。经常选择对某物理量有确定值态为基础态。
例如：
若选择有确定位置的态 作为基础态，由于 是连续的系统态矢量的线性叠加形式为：
对于这样的展开式， 一定是该状态的波函数。（为什么？）
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状态的态矢量表示
基础态的完备性：
例如：
这些公式十分有用！
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无限深势阱初始波函数 ，如何演化？
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Dirac delta函数以及连续空间的基础态
位置算符X的某本征态
它是位置有确定值 的态
其波函数必然是在该位置处为无穷大，在其他位置为0。我们将此称为Dirac delta 函数。
位置，动量的基础态
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对于波函