拉普拉斯方程-分离变量法(laplace's.ppt

习题课第二讲
电磁场中的主要的方程
以及解法
静电学的基本问题是求满足给定边界条件的Poisson equation的解。
一、拉普拉斯方程,分离变量法
研究一种最简单的情习题课第二讲
电磁场中的主要的方程
以及解法
静电学的基本问题是求满足给定边界条件的Poisson equation的解。
一、拉普拉斯方程,分离变量法
研究一种最简单的情况：自由电荷只分布在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布，此时满足Laplace‘s equation。若选择这些导体的表面作为区域V的边界，则在V内部自由电荷密度 ，这时Poisson equation变为比较简单的Laplace’s equation，即

（1）
产生这电荷的电场都分布于V的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。
Laplace's equation
（1）式的通解可以用分离变量法求出，具体的方法是：
①先根据求解区域边界面或介质分界面的几何形状，选择适当的坐标系；
②在所选择的坐标系下解Laplace's equation，给出线性迭加形式的解；
③利用问题给出的定解条件（边界条件）确定迭加系数。最常用的坐标系有球坐标系、柱坐标系和直角坐标系，Laplace's equation在这三种坐标系下的一般解在数理方法中已求出，我们重点放在如何根据具体问题的边值关系、边界条件确定一般解中的系数。
拉普拉斯方程 的通解
（A、B、C为待定系数）
在数学物理方法中，该方程的通解的
（1）在直角坐标系中
设
（2）在柱坐标系中
该方程的通解为
如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是 ，故通解为
其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。
其通解为
这里A，B，C，D为待定系数。
（3）在球坐标系中
这里 为缔合勒让德（Legendre)函数
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴）
且
这里 为勒让德函数， 、 为待定系数。
对于球对称的问题，m=0 , n=0。且
，极化强度为 ，电容率 ，
（1）计算束缚电荷的体密度和面密度；
（2）计算自由电荷的体密度；
（3）计算球外和球内的电势；
（4）求该带电介质产生的静电场总能量。
解；（1）
(2) 由
对球内用高斯定理有:
对球外用高斯定理有
1. 根据 算符的微分性与矢量性，推导下列公式
解：（1）
（2）在（1）中令
得：
所以
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
利用电荷守恒定律
证明P的变化率为：
根据并矢的散度公式
得
证明
取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的
所以
=0
6. 若m是常向量，证明除
点以外，向量
的旋度等于标量
的梯度的负值，即
其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
证明
其中
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
又
所以，当
7. 有一内外半径分别为
和
的空心介质球，介质的电容率为 ,
使介质球内均匀带静止自由电荷 ,
求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布
解：（1）设场点到球心距离为
。以球心为中心，以
为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同
处场强大小相同。
当
时，
，
当
时，
当
时，
当
时，
（2）
当
时，
当
时，
当
时，
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度
总是等于体自由电荷密度
的
倍。
证明：在均匀介质中
所以
11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为
和
，电容率为