线性叠加原理的几个应用.docx

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线性叠加原理
线性叠加原理是将复杂问题简化为简单问题的方法，在数学物理中有最强的应用。实际上我们: .
线性叠加原理
线性叠加原理是将复杂问题简化为简单问题的方法，在数学物理中有最强的应用。实际上我们能够解析解决的所有问题都与之有关。
先举个简单例题，在系统介绍
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求一个整数N,被11出余5,被7除余2
这是孙子兵法问题，有通常的解法。我们用线性叠加原理讲解其道理。
N可以分解为下面三个数的组合：
（1）求整数N1,被11除余5,被7除余0（2）求整数N2,被11除余0,被7除余2（3）求整数N1,被11除余0,被7除余0
N=N1+N2+mN3
注意N3随意加几次都不会改变余数，因此可以加m次。
还可以化简为
N可以分解为下面三个数的组合：
(6) （4）求整数N1,被11除余1,被7除余0（5）求整数N2,被11除余0,被7除余1求整数N1,被11除余0,被7除余0
N=5N1+2N2+mN3
注意每次加入N1都不改变7除余数，而使11除余数增加1,加5次就能使11除余数变为5，以此类推。
这样问题变得简单多了。
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再举个例子
计算满足
数列通解
可以简化为下面两个特解的组合
即an=bnCCnDdn
bn1=3bn-2bn/5°
Cn1=3cn-2cn-4
dn1=3dn_2dn4
值得注意的是C和D可以是任意常数猜特解的办法是，先尝试多项式，再尝试指数，再尝试组合，一
般根据源项形式猜
如第一方程猜解为bn「5n1,带入:(5n2一3畀25n)=5n，比较可以得到-=1/(25一15•2)=1/12,bn=5n'1/12
第二个猜解带入厂-3「2小=0,可得一1，一2
这样也把第三个特解也求出来了Cn=1,dn=2n
因此原方程通解为an二bnCCnDdn=5n1/18CD2n
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再举个微分方程组的例子
y2Z=t2
y"_z"=8exp(t)
可以简化为下面几个个特解的组合
y2z'=t2
y-z=0
y2z=0
y-z=exp(t)
y2z=0
y"-z=0
第一方程猜解为y=zF・t3,带入〉(9t2