四点共圆例题及答案.docx

例1如图，E、F、G、：E、F、G、H四点共圆.
证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,连接OE、OF、OG、0H.
VAC和BD互相垂直，
..•在RtZXAOB、RtZXBOC、等•圆既是中心对称图形，乂是轴对称图形，，乂是轴对称图形，，也无法确定菱形一定内接于圆；如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等，再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质，那么这个四边形乂必是正方形.
综上所述，“菱形都内接于圆”这个命题是错误的.
5圆的内接四边形
例1已知：如图7-，通过对
：CM=MD.
证明ZMEC与/HEB互余,ZABE与NHEB互余，所以ZNEC==ZECM,所以ZMEC====MD.
图7-90
点评本例的逆命题也成立(即图中若M平分CD,则MH1AB)..
例2已知:如图7-，AC±BD,
：OE=|cD.
图7-91
分析一如图7-91(a),由于E是AB的中点，从A引。0的
直径AG,=iGB,因此只
2需
证明GB=.
证明读者自己完成.
*分析二如图7-91(b),设AC,
中点虬则MF=?CD,所以应该有OE=MF,并且由例1的点评知道还
有OE〃，.
*分析三如图7-91(b)，通过AC,,±AB,FM±AB,所以OE〃±CD(见例1的点评)，M0_LCD,所以EF〃,而由
例1知MF二;CD,所以OE二?CD.
例3求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积,即图中ABCD+BC•AD=AC•BD.
图7-92
分析在AB•CD+BC・AD=AC・BD中，等号左端是两个乘积的和，要证明这种等式成立，常需把左端拆成两个单项式来证明，即先考虑AB•CD和BC・AD各等于什么，然后再考虑AB-CD+BC・AD是否等于AC・-CD和BC•AD各等于什么，，如图7-92,作AE,令ZBAE=ZCAD,并且与对角线BD相交于点E,这就得到Z\ABE--CD=AC・BE・在圆中乂出现了左ABC^AAED,由此乂求得BC•AD=AC•，问题就解决了.
证明读者自己完成.
.
例4已知；如图7-93,P为等边三角形ABC的外接圆的BC上任
意一点•求证：PA=PB+PC.
分析一本例是线段和差问题，-93(a),在PA±取点M,使PM二PB,剩下的问题是证明MA二PC,这只要证明Z\ABM^ACBP就可以了.
证明读者自己完成.
分析二如图7-93(a),在PA上取点M,使MA二PC,剩下的问题是证明PM=PB,这只要证明ABPM是等边三角形就可以了.
证明读者自己完成.
囹7-93
分析三如图7-93(b)，延长CP到M,使PM=PB,剩下的问题是证明PA=MC,这只要证明△PAB^AQffi就可以了.
证明读者自己完成.
读者可仿以上的方法拟出本例的其他证明.
*本例最简单的证明是利用托勒玫定理(例3).
证明由托勒玫定理得PA・BC=PB・AC+PC・AB,山于BC=AC=AB,所以有PA=PB+PC.
例2如图7-116,001和。th都经过A、B两点,经过点A的直线CD与。01交于点c,与。。£。01交于点E,与。02交于点F.
求证:CE〃DF.
分析:要证明CE〃(或内错角)相等或同旁内角互补•由于CE、DF分别在两个圆中，不易找到角的关系,若连结AB,则可构成圆内接四边形,利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角的关系.
D
证明：