四点共圆例题及答案.doc

螆例1如图,E、F、G、:E、F、G、,连接OE、OF、OG、∵AC和BD互相垂直,蒆∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中,E、F、G、H,分别是AB、BC、CD、DA的中点,蚄蚁膁即E、F、G、(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥:B、E、F、∵DE⊥AB,DF⊥AC,螆∴∠AED+∠AFD=180°,膂即A、E、D、F四点共圆,肀∠AEF=∠∵AD⊥BC,∠ADF+∠CDF=90°,薄∠CDF+∠FCD=90°,薄∠ADF=∠∴∠AEF=∠FCD,蒈∠BEF+∠FCB=180°,蚅即B、E、F、(3)若两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,△ABC中,BD、CE是AC、∴∠BEC=∠BDC=90°,且E、D在BC的同侧,薂∴E、B、C、∠AED=∠ACB,∠A=∠A,蒄∴△AED∽△“四点共圆”的基本方法,至于证第四点在前三点(不在同一直线上) 节【例1】在圆内接四边形ABCD中,∠A-∠C=12°,且∠A∶∠B=2∶∠A、∠B、∠C、∠∵四边形ABCD内接于圆,膅∴∠A+∠C=180°.蚇∵∠A-∠C=12°,蚄∴∠A=96°,∠C=84°.袀∵∠A∶∠B=2∶3,袆蒄∠D=180°-144°=36°.【例2】已知:如图1所示,四边形ABCD内接于圆,CE∥:AD·BE=BC·:∵CE∥BD,蝿∴∠1=∠∵∠1和∠2都是所对的圆周角,薇∴∠1=∠∠1=∠∵四边形ABCD内接于圆,膇∴∠EBC=∠∴△ADC∽△ AD∶BC=DC∶ AD·BE=BC·、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件,,,现介绍如下:螄定理::如图2所示,:AC·BD=AB·CD+AD·:作∠BAE=∠CAD,∵∠ABD=∠ACD,蚀莈即AB·CD=AC·BE.①芄∵∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,羁∴∠BAC=∠∠ACB=∠ADE,膀腿 AD·BC=AC·DE.②芆由①,②得AC·BE+AC·DE=AB·CE+AD·BC莃 AC·BD=AB·CD+AD·BC蕿这个定理叫托勒密(ptolemy)定理,△ABE∽△ACD,充分利用相似理论,,“菱形都内接于圆”对吗?羈命题“菱形都内接于圆”:根据圆的内接四边形的判定方法之一,如果一个四边形的一组对角互补,,,它们的内角和不一定是180°.如果内角和是180°,而且又相等,那么只可能是每个内角等于90°,既具有菱形的性质,且每个内角等于90°,,,,又是轴对称图形,,又是轴对称图形,,也无法确定菱形一定内接于圆;如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等,再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质,,“菱形都内接于圆” 肃例1 已知:如图7-90,ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,:CM= ∠MEC与∠HEB互余,∠ABE与∠HEB互余,所以∠MEC=∠∠ABE=∠ECM,所以∠MEC=∠=E