四点共圆例题及答案.doc

例1如图,E、F、G、:E、F、G、H四点共圆. 证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,连接OE、OF、OG、OH. ∵AC和BD互相垂直, ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中,E、F、G、H,分别是AB、BC、CD、DA的中点, 即E、F、G、H四点共圆. (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),则四点共圆. 例2如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC. 求证:B、E、F、C四点共圆. 证明∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED+∠AFD=180°, 即A、E、D、F四点共圆, ∠AEF=∠ADF. 又∵AD⊥BC,∠ADF+∠CDF=90°, ∠CDF+∠FCD=90°, ∠ADF=∠FCD. ∴∠AEF=∠FCD, ∠BEF+∠FCB=180°, 即B、E、F、C四点共圆. (3)若两个三角形有一条公共边,这条边所正确角相等,而且在公共边的同侧,那么这两个三角形有公共的外接圆. 证明在△ABC中,BD、CE是AC、AB边上的高. ∴∠BEC=∠BDC=90°,且E、D在BC的同侧, ∴E、B、C、D四点共圆. ∠AED=∠ACB,∠A=∠A, ∴△AED∽△ACB. 上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法,至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了. 【例1】在圆内接四边形ABCD中,∠A-∠C=12°,且∠A∶∠B=2∶∠A、∠B、∠C、∠D的度数. 解∵四边形ABCD内接于圆, ∴∠A+∠C=180°. ∵∠A-∠C=12°, ∴∠A=96°,∠C=84°. ∵∠A∶∠B=2∶3, ∠D=180°-144°=36°. 利用圆内接四边形对角互补能够解决圆中有关角的计算问题. 【例2】已知:如图1所示,四边形ABCD内接于圆,CE∥:AD·BE=BC·DC. 证明:连结AC. ∵CE∥BD, ∴∠1=∠E. ∵∠1和∠2都是所正确圆周角, ∴∠1=∠2. ∠1=∠E. ∵四边形ABCD内接于圆, ∴∠EBC=∠CDA. ∴△ADC∽△CBE. AD∶BC=DC∶BE. AD·BE=BC·DC. 本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所正确圆周角得到两个相似三角形的条件,进而得到结论. 关于圆内接四边形的性质,,现介绍如下: 定理:圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和. 已知:如图2所示,:AC·BD=AB·CD+AD·BC. 证明:作∠BAE=∠CAD,AE交BD于E. ∵∠ABD=∠ACD, 即AB·CD=AC·BE.①∵∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE, ∴∠BAC=∠∠ACB=∠ADE, AD·BC=AC·DE.②由①,②得AC·BE+AC·DE=AB·CE+AD·BC AC·BD=AB·CD+AD·BC 这个定理叫托勒密(ptolemy)定理,△ABE∽△ACD,充分利用相似理论,,“菱形都内接于圆”对吗? 命题“菱形都内接于圆”:根据圆的内接四边形的判定方法之一,如果一个四边形的一组对角互补,,,它们的内角和不一定是180°.如果内角和是180°,而且又相等,那么只可能是每个内角等于90°,既具有菱形的性质,且每个内角等于90°,,不能说明一般情形. 判定四边形内接于圆的方法之二,,又是轴对称图形,,又是轴对称图形,,也无法确定菱形一定内接于圆;如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等,再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质,那么这个四边形又必是正方形. 综上所述,“菱形都内接于圆” 例1 已知:如图7-90,ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,:CM= ∠MEC与∠HEB互余,∠ABE与∠HEB互余,因此∠MEC=∠∠ABE=∠ECM,因此∠MEC=∠=== 本例的逆命题也成立(即图中