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高中数学函数单调性的判断方法
单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单 调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢 方法一：定义法
对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的任意两个值Xi,X2
高中数学函数单调性的判断方法
单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单 调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢 方法一：定义法
对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的任意两个值Xi,X2
(1)当X1 x2时，都有f(Xl) f(X2),则说f(x)在这个区间上是增函数；
(2)若当Xi X2时，都有f(xi) f(X2)，则说f(x)在这个区间上是减函数。
例如：根据函数单调性的定义，证明：函数1在(-%口)上是
减函数。
要证明函数 f(X)在定义域内是减函数，设任意Xi,X2 R且Xi X2 ,则
33,、， 22、
f (Xi)f (X2)X2Xi(X2Xi)(X2X1X2Xi),因为 XiX2所以 X2Xi0,且
在Xi与X2中至少有一个不为 0,不妨设X2 0,那么 X22 XiX2 Xi2 (X, X2)2 -X22 0 ,所以 f(Xi) f (X2),故 f (x)在(,)上
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为减函数。
方法二：性质法
除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.
若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间 B上有：
. f(x)与cf(x)当c>0具有相同的单调性，当c<0具有相反的单调性；
.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x) + g(x)都是增(减)函数；
.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数， 当两者都包小于0时也是减(增)函数；
例如，已知f (x)在R上是减函数，那么-5f (x)为酉数。
这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。
方法三：同增异减法(处理复合函数的单调性问题)
对于复合函数v= f [g(x)]满足 同增异减”法(应注意内层函数的值域)，
可令 t = g(x),则三个函数 y=f(t)、t=g(x)、y=f [g(x)]中, 若有两个函数单调性相同，则第三
个函数为增函数；
若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数 .
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区 间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如 果f（x）在区间D上是增（减）函数，那么f（x）在D的任一子区间上也是增（减） 函数。
例如，求函数 y=log4（x2 — 4x+3）的单调区间。
解：设 y=log4u,u=x2—4x+
:u>0,
u=x2 — 4x+3,
解得原复合函数的定义域为 xv 1或x >3.
当 x€ （一°°, 1）时，u=x2—4x+3 为减 函数，而y=log4u为增函数，所以（一00, 1）是复合函数的单调减区间；当x€ （3,