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勤思索 善归纳 促能力
浙江省高中新课程标准的改革已全面铺开， 要求教育者重视
创新思维能力的培养， 受教育者也以是否具备创新思维能力作为
学业评价的参考标准。这种全方位、全过程的改革，促使高中数
学的教与学正在发生本质变化。 要求立，即证
设A=,构造又偶式B=
因为A>B>Q所以A2>AB=2n+1即A>,所以原不等式成立。
例 2、设 Sn=1+1/2+1/3+ - +1/n ( n) , f (n) =S2n+1-Sn+1, 试确定实数m的取值范围，使对于n, n>1,不等式恒成立。
【分析】 Sn 不易求和，不等式难以处理．若用函数思想沟
通，化归为研究f (n)的单调性，再构建不等式，则也许容易
解决．
【解析】设，则故=
所以 f (n) >f (n-1) >•- >f ⑶ >f ⑵，而 f ⑵=9/20, 由单调性知：
得-1 ，且m2 函数与方程思想
利用函数思想在解题中挖掘题目中的隐含条件， 构造出函数
解析式和妙用函数的性质。此外，方程问题、不等式问题和某些
代数问题也可以转化为与其相关的函数问题， 即用函数思想解答
非函数问题。
例3、已知｛an｝是一个等差数列，且 a2=1, a5= —5,则数 列｛an｝前n项和Sn的最大值是.
【分析】根据方程思想求出数列的首项和公差，建立Sn 关
于 n 的函数
【解析】设｛an｝的公差为d,由已知条件，解出a1=3, d =-2.
Sn= na1 + d= — n2 + 4n = 4— (n —2) n=2 时，Sn
取到最大值4.
例4、长度都为2的向量，的夹角为60° ,点C在以。为圆 心的圆弧(劣弧)上，=nn+ n,则nn+ n的最大值是.
【分析】将向量坐标化，建立m＋ n 关于动向量的函数关系．
【解析】建立平面直角坐标系，设向量=(2, 0),向量=
(1,).设向量=(2cos 5 , 2sin a ) , 0< a =mi+ n,
得（2cos a
2sin a ）
2m＋ n， n ），
即 2cos a = 2nn+ n, 2sin a =n, 解得 nn= cos a — sin 民,n = sin 民.
故 mH- n = cos a + sin a = sin <
分类讨论思想
分类讨论是一种重要的思想方法， 同时也是一种重要的解题
策略。 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、 综合性、
探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
例 5、求二次函数y=x2-ax+1 在 [2 ， 3] 上的最小值g（ a ）的
表达式．
【分析】二次函数是高中阶段的重要知识，讨论二次函数最
值问题时，关键是讨论对称轴与区间的位置关系，故只需讨论
x=a/2 相对于区间 [2 ， 3] 的位置关系
【解析】对称轴方程为 x=a/2 ，对称轴进行分类讨论：
当 a/23 ，即 a>6 时，函数在[2 ， 3] 上为减函数，则当 x=3
时， y 的最小值 g（ a） =32-3a+1=10-3a
综合（ 1）、（2）、（3）得g（ a ） =
例 6、飞机俯冲航线和山顶在同一铅直平面内，且与水平线
（位于山顶左上方）海拔为 a km,测得山顶俯角为（ >）,现 保持航向不变，飞行b km 到达 B 点，测得山顶俯角为，求山顶
海拔高度 h.
【分析】先作出示意图如图所示，在图中标出各已知量，然
后分情况利用正弦定理求解△ ABC( 4AB1C与△AB2。，求出AC, 从而范围所求高度h=DE=a-DF=a-ACsin .
【解析】如图，分两种情况求解：
( 1)当飞机在如图所示的 B1 处时，在中，AB1=b， ACB1=
AB1C¥是由正弦定理得：
故 AC==于是 h=DE=a-DF=a-sin
(2)当飞机在如图所示的B2处时，在中，AB2=b, ACB2=
AB2c¥是由正弦定理得：
故 AC==于是 h=DE=a-DF=a-sin
数形结合思想
“以形助数”和“以数辅形”是数形结合思想在解决数学
问题上的一种有效的数学思想。 巧妙地利用数形结合能使抽象问
题直观化、复杂问题简单化，以优化解题途径。
例 7、方程x3 － 4x2+4x － log2x=0 的实根个数为 ___．
【分析】 解方程求根是不切实际的， 画图是一条重要的途径．
【解析】令 y1=x3-4x2+4x , y2=log2x ,贝U y1' =3x2-8x+4= (3x-2 ) (x-2 ). 令 y1' =0 得 x1=2, x2=2/3 ,
在 x1