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外接球内切球的解题方法
［高考定位］高考对本讲内容主要考查空间几何体的展开图、
题和填空题，对表面积与体积也可能在解答题中设置一问，在难度上有所控制，基本上都是中等难度或者
,r2x225.
在/ABC中，取AC的中点为E,连接OQQE,
一__1___1_
则QEAB3DEAC2
2，4，
&OO1D中，OD或13，
由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，
设此时截面圆的半径为r,
则r2R2OD2x225x21312,
所以最小截面圆的面积为12,
当截面过球心时，截面面积最大为R2,
所以R21216,R228，
球的表面积为R2112.
故选:C.
，三角形有一个角为一3
心O到ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的一半，点P为球面上任意一点，则
体积的最大值为（）

3344
【答案】C
一―一R
【解析】设ABC外接圆的圆心为Oi,则OOi平面ABC,所以OO1—
且其对边长为3,球
PABC三棱锥的
设ABC外接圆的半径为
由正弦定理可得：.
sin
3
r,ABc3,C—3
2r一一
,解得：r痣
由球的截面圆性质可得:
2
R2OO12r2R3,解得：R2
所以点P到平面ABC的距离的最大值为：ROOi3.
在ABC中，由余弦定理可得:
32a2b22abcosCa2b2ab2abab
ab
当且仅当ab3时，等号成立，
所以SABC二labsin—〈逋，当且仅当ab3时，等号成立23-4
当三棱锥PABC的底面面积最大，高最大时，其体积最大
所以三棱锥PABC的体积的最大值为VPARC13
344
故选C

，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的
直径，且SC2,则此棱锥的体积为（）
A.*・D--
【答案】A
【解析】根据题意作出图形：
设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为
Oi,贝U00」平面ABC,
延长COi交球于点D,则SDL平面ABC.
•••COi=2—3—3,OO1
323
Saabc=—
・•・高SD=2OOi=2厩,ABC是边长为1的正三角形,
3

V三棱锥SABC二一T二
3436
8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注

，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高
500
cm
B.
866
cm
C.
1372
cm
D.
2048
3
3
cm
【答案】A
【解析】设球的半径为
Rcm,根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为
4cm,球心
到截面圆的距离为
R2cm,所以由42
__2_2
R2R2,得R5,所以球的体积为
53
500
3
3
cm

ABCD中，已知DA
DB
DC1,且DA、DB、DC两两相互垂直,
在该四面体表面
上与点A距离为述的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是（）
3
.-⑤
326
【答案】B
【解析】在四面体表面上与点
a距离为W!的点形成一条曲线,
3
曲线分别与AB,BD,AC,CD
RtADH,cos父于E,H,F,G,在
DAH
AD
AH
_1_

3
1
DAH—,DH-AH
62
HAE一
4
——,同理
612
GAF
FGHE

123
18
2、3
丁GH
EFFGGHHE

18962
故选:B.

例5..如图，在底面为矩形的四棱锥EABCD中，DE平面ABCD,F,G分别为棱DE,AB上一
点，已知CDDE3,BC4,DF1,且FG//平面BCE,四面体ADFG的每个顶点都在球O的
表面上，则球O的表面积为()

【答案】C
【解析】在棱CD上取一点H,使得HD=1,；CDDE,FH〃CE,则FH〃平面BCE,
又FG//平面BCE,FGFHF,平面FGH/