概率论与数理统计 计算公式.docx

概率论与数理统计公式集锦
密度函数
公式名称
公式表达式
德摩根公式
Aub=Anb，Anb=Aub
古典概型
mA包含的基本事件数P(A)=n=基本事件总数
几何概型
P(A)=血，其中卩为几何度量(长度、面积、体积)
J+gf(z—y,y)dyZ
xp，连续型E(X)=J+gxf(x)dxkk

②性质：E(C)=C,E[E(X)]=E(X)，E(CX)=CE(X)，E(X土Y)=E(X)土E(Y)E(aX土b)=aE(X)土b，当X、Y相互独立时：E(XY)=E(X)E(Y)2、方差
定义：D(X)=E[(X—E(X))2]=E(X2)—E2(X)
性质：D(C)=0，D(aX土b)=a2D(X)，D(X土Y)=D(X)+D(Y)土2Cov(X,Y)当X、Y相互独立时：D(X土Y)=D(X)+D(Y)
3、协方差与相关系数
协方差：Cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y)，当X、Y相互独立时：Cov(X,Y)=0
相关系数：D=Cov(X,Y)，当X、Y相互独立时：p=0(X,Y不相关)
pxf页X)TDY)XY
协方差和相关系数的性质：Cov(X,X)=D(X)，Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)，Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y)4
五、大数定律与中心极限定理
若E(X)=卩,D(X)=72,对于任意£>0有P{|X—E(X)|>£}<D(X)
£2
2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若X…X相互独立，
1n
E(X,)=□.,D(X.)=q2且72<C，贝y：丄EX.—丄EE(X.),(nTg)
iiiiinini
i=1i=1
伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在
p<£丿
辛钦大数定律：若X「…,X独立同分布，且E(X.)=卩，则丄EX.——tr
1".nTg
i=1
3、中心极限定理
列维一林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量X.(i=1,2,…)，均值为R，方差为72>0，当n充分大时有：Y=(Ex—n
nk
k=1
棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：随机变量X〜B(n,p)，则对任意x有：
X—np12
limP{<x}=Jxe—2dt=0(x)
nTgnp(1—p)—g兀
近似计算：P(aX<b)〜①(注)—①(呼)
kJncJna
k=1
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本的分布函数
设总体X〜F(x)，则样本的联合分布函数F(x,x…x)二冇F(x)
12nk=1k
2、统计量
样本均值：X=丄£X.,样本方差：S2二丄乙X.-X)2二丄乙X2-nX2)n1n-11n-11
i=1i=1i=1
样本标准差：S=—£(X.-X)2,样本k阶原点距：A=1£Xk,k=1,2…
■n—1ikn1
'i=1i=1
样本k阶中心距：B=1£(X—X)k,k=1,2,3…
kni
3、三大抽样分布曰
⑴x2分布：设随机变量X.〜N(0,1)(i=1,2,…,n)且相互独立，则称统计量i
x2=X2+X2+…X2服从自由度为n的x2分布，记为x2~x2(n)
12n
性质：①E[x2(n)]=n