高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

第二节 数列的极限
(Limits of Sequences)
第一章
极限方法是高等数学中的一种基本方法．
本节主要介绍数列极限的概念以及收敛数列的性质．
二、收敛数列的性质
一、数列极限的定义
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第二节 数列的极限
(Limits of Sequences)
第一章
极限方法是高等数学中的一种基本方法．
本节主要介绍数列极限的概念以及收敛数列的性质．
二、收敛数列的性质
一、数列极限的定义
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一、数列极限的定义
1. 数 列(Sequence of number)
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2. 数列极限的定义
我们先来观察数列
当n 无限增大时 ，
即
时的变化趋势.
图形演示
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通过上面演示实验的观察知:
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证明数列
的极限为C.
证:
例1 已知
对一切自然数 n ，
成立
所以,
（常数），
数列
的极限为C.
注1:
常数列的极限等于同一常数．
注2:
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证:
例2 证明
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
故也可取
也可由
N 与  有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:
取
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例3
证:
则
(由例1）
则
欲使
只要
即
亦即
因此 , 取
, 则当 n > N 时,
就有
故
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. (Uniqueness)
证
由定义,
（1）
（2）
故
所以收敛数列的
极限是唯一的.
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是发散的.
证: 用反证法.
假设数列
收敛 ,
则有唯一极限 a 存在 .
取
则存在 N ,
但因
交替取值 1 与－1 ,
内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时 , 有
因此该数列发散 .
例4 证明数列
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2. 收敛数列一定有界. (Roundedness)
证: 设
取
则
当
时,
从而有
取
则有
由此证明收敛数列必有界.
有
说明: 此性质反过来不一定成立 .
例如,
虽有界但不收敛 .
数列
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若
且
时, 有
证:
对 a > 0 ,
取
推论:
若数列从某项起
(用反证法证明)
3. 收敛数列的保号性. (Sign-preserving Property)
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证: 设数列
是数列
的任一子数列 .
若
则
当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当
时, 有
从而有
由此证明
*********************
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
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说明:
例如，
发散 !
思考
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内容小结
1. 数列极限的 “  – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 保号性;
任一子数列收敛于同一极限
课后练习
习 题 1-2 1 2（2） 3～ 6
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
解:
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证:
0
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