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多面体的外接球问题
题型一 直角四面体的外接球 补成长方体，长方体对角线长为球的直径
1．三棱锥 P  ABC 中， ABC 为等边三角形， PA  PB  PC  2， PA  AB＝AC＝AD＝ 时，S ＋S ＋S 取得最大值 8.
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题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱
1．在四面体 ABCD 中，若 AB  CD  3 ， AC  BD  2 ， AD  BC  5 ，则四面体 ABCD 的外接球的表
面积为 ( )
A． 2 B． 4 C． 6 D．8
解：如下图所示，
将四面体 ABCD 放在长方体 AEBF  GCHD 内，设该长方体的长、宽、高分别为 x 、 y 、 z ，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，
AB2  x2  y2  3

由勾股定理得 AC2  x2  z2  4 ，上述三个等式全加得 2(x2  y2  z2 ) 12 ，

AD2  y2  z2  5
1所以，该四面体的外接球直径为2R  x2  y2  z2  6 ，
因此，四面体 ABCD 的外接球的表面积为 4 R2    (2R)2  6 ，
故选： C ．
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2． A，B，C，D 四点在半径为 的球面上，且 AC  BD  5 ， AD  BC  41 ， AB  CD ，则
2
三棱锥 D  ABC 的体积是____________．【答案】2
秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D  ABC ，如图所示，设长方体的长、宽、
a2  b2  25

高分别为 a，b，c ，则有 a2  c2  41 ，解得 a  4 ，b  3 ，c  5 ，所以三棱锥的体积为435

a2  b2  c2  50
1 1
－ 4   435 ＝20．
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